III. — CRAN6EMBNTS DB VARIABLES. 8l

port à u^par B la dérivée prise par rapport à ç, et ajouter les deux produits; on opère de même pour avoir la dérivée partielle par rapport à^, en remplaçant A et B par G et D respectivement. Pour calculer les dérivées du second ordre, il suffira d^appliquer aux dérivées du premier ordre la règle exprimée par les formules précédentes; ainsi, on aura

__ d /dii>\^ d / , dta ()a)\ ^ dx\dx / '^ dx\ du dv )

— A — ^A — B — ^ B — /a — B —^ '^ du\ du dv ) d}f\ du dv )'

ou, en développant les calculs,

dx^

d^iii

" du^

dudv

dK diù du du

dB du

doj\ dç)

a» Cl)

dudv

d^ta dv^

dX dta dv du

dB du}\ dv dv /

et l'on trouvera de même , , > -r-r > et les dérivées suivantes. Dans

dx dy dy^

tontes les dérivations à effectuer, il suffit de remplacer les opérations ^ et -T- par les opérations

A-r--hB3-, G-r--4-D3-

du dv du dv

respectivement; tout revient donc au calcul des coefficients A, B, C, D.

Exemple /. — Considérons l'équation

OÙ les coefGcients â, 6, c sont constants; nous allons chercher à ramener cette équation à une forme aussi simple que possible. Observons d'abord que si Ton avait à la fois a = c = Oj il serait superflu de chercher à sim* plifier réquation ; nous pouvons donc supposer que c, par exemple, n*est pas nul. Gela étant, prenons deux nouvelles variables indépendantes u et ç,

M = a? 4- aj', ç z= x-h p^, G. 6

8a CHAPITRE II. — PONCTIONS IMPLICITES, ETC.

a et P étant deux coefûcients constants indéterminés. On a aussitôt

dx ~^

du-*-

do> dv

du

dbi

de sorte que l'on a, dans ce cas, A = B = i, G = a, D = p. La. méthode générale donne ensuite

d'to d*ii} d^tsi d*(ù

dx* du* dudv dv*

et réquation proposée devient

d*tù

(a -hiba -f- cofl)

du*

Gela posé, plusieurs cas sont à distinguer :

Premier Cas, — Soit 6*— ac>o; en prenant pour a et p les deux

racines de l'équation

a-f- 2 6r-i- cr* = o,

l'équation prend la forme simple

d*ia

dudi>

Gomme on peut l'écrire ^ f ^ J = o, on voit que -r- doit être une fonction de la seule variable u, soit f{u). Désignons par F(u) une fonction de u dont la dérivée F'(a)=/(w); la dérivée de w — F(m) par rapport à u étant nulle, cette différence est indépendante de u, et l'on a par conséquente!) = F(m)-+- *(t'). La réciproque est immédiate. En revenant aux variables x et y^ on en conclut que toutes les fonctions to qui satisfont à l'équation (26) sont de la forme

les fonctions F, et 4> étant arbitraires. Par exemple, l'intégrale générale de

l'équation

djr* ~~ dx* *