III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

qui se présente dans la théorie des cordes vibrantes, est

Deuxième Cas, — Soit b^ — ac = o. En prenant a égal à la racine double de l'équation a -h a ôr -h c/** = o, et prenant p différent de a, le

coefficient de -r — -r- sera nul, car il est égal àa-i-6a-hp(6-Hca); Téqua-

tioD se réduira donc à -3-^ = o. On voit que co doit être une fonction

linéaire de t^, co = p/(a)-i-<p(M), les fonctions /( w) et ç(m) étant quelconques; en revenant aux variables x et y, l'expression de (o est

co = (a: -+- ^y)f{x -f- %y) 4- ^{x H- oiy),

ce qui peut s'écrire

co = [a: -+- a^ -+- (P — 0L)y]f{x -h OLy) -H o{x -+- ay),

on encore

co =y¥{x H- OLy) -+- *(a7 4- a^).

Troisième Cas. — Si ^* — ac < o, la transformation précédente ne s'applique plus, à moins d'introduire des variables imaginaires. On peut alors déterminer 2 et P de telle façon que l'on ait

a -h 26a -t- ca* = a 4- 26P H- cp*,

a-t-6(a4-P)4-cap =0,

ce qui donne

o ib Q 26*— rtc

l'équation du second degré, qui a pour racines s et p,

26 26* — ac

a, en effet, ses racines réelles. L'équation proposée devient alors

I , c)* (0 • rf* co

cette équation Ajco = o, connue sous le nom iVéquation de LaplacCy joue an rôle fondamental dans un grand nombre de questions d'Analyse et de Physique mathématique.

Exemple II. — Cherchons ce que devient- l'équation précédente en posant X =^ p cos^, y = p sincp. On a

dij} dui dco .