III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

culer -j^ et , *{ > nous parlîrons de Tidentilé

ox^ ox oy *^

\àx)''

àx^ dx dy ^^

qai est équivalente aux deux relations

à^f dx d^f dy

\àx) du àx^ du ' dx dy du

\di)

d^f dx d^f dy

dv dx^ dv dx dy dv

où l'on suppose que -p ait été remplacée par son expression déjà calculée. On trouvera de même ->— r- et^ en partant de l'identité

dx dy dy^

"^ydy)- dxdy"^^ dy^"^^^

et les deux valeurs obtenues pour "^ doivent être identiques, ce

qui fournit une vérification des calculs. Les dérivées d'ordre supérieur se calculent de la même façon.

Application aux surfaces. — On se sert du calcul précédent dans l'étude des surfaces. Supposons que les coordonnées d'un point d'une surface S soient exprimées en fonction de deux paramètres variables u^ v^ par les formules

on obtiendrait l'équation de cette surface en éliminant les variables u ^Iv entre les trois équations (27), mais on peut se proposer d'étudier directement les propriétés de la surface S sur ces équations elles-mêmes, sans effectuer l'élimination qui peut être pratiquement impossible. Remarquons d'abord que les trois jaco-

biens ^/' ^[9 i^, ' {y J"/' ^{ ne peuvent être nuls à la fois, car D(a, i^) D(M, v) D(u, V) ^ '

Télimination de u et v conduirait à deux relations distinctes entre x^y^ z et le point de coordonnées {x^y, z) décrirait une

courbe cl non une surface. Soit, pour fixer les idées,

des deux premières équations (27) on peut alors imaginer qu'on ait tiré uel\f et, en les portant dans la troisième, on aurait Téqualion de la surface z = F (a:, y). Pour étudier celle surface dans le voisinage d'un point, il faut pouvoir calculer les dérivées partielles />, y, r, 5, /, • . . de cette fonction F(x,y) au moyen des paramètres w, ç. Les dérivées premières p et q s'obtiendront au

moyen de la relation

dz = p dx-hq dy^

qui se dédouble en deux équations

Ià^ àf 09

du au ^ du

dit àf âfù

permettant de calculer/? et q. L'équation du plan tangent s'obtiendra en portant ces valeurs de/? et de q dans l'équation

Z-z=/>(X-a7)-f-5r(Y-^), ce qui conduit à l'équation

^ ^^ ^ ^ D(a, (-') D(w, v) ^ ' D(îf, r)

Les relations (28) ont une signification géométrique facile à retenir; elles expriment que le plan tangent contient les tangentes aux deux courbes situées sur la surface, que l'on obtient en laissant V constant et faisant varier u^ puis en laissant u constant et faisant varier (^ (*).

Ayant obtenu/? eV q^ p=^fi{Uj i^), q=f2{u^ v), on obtiendra

(') On peut aussi arriver à l'équation du plan tangent par un raisonnement direct. Toute courbe située sur la surface est définie par une relation entre u et ç, soit V = n(u), et la tangente à cette courbe a pour équations

L'élimination de n'(u) conduit à l'équation du plan tangent (ag).