III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES
r,$,taiu moyen des égalités
dp = r dx -h s dy, dq = sdx-\- t dy,
dont chacune fournil deux relations distinctes, et ainsi de suite. 40. Problème IV. — Si Von pose
(3o) a?=/(a, i', cv), 7 = ?(w, t», w), z = ^/(a, ç>, cv),
ces formules font correspondre à toute relation entre les variables x^y^ Zy une nouvelle relation entre w, r, mp. On se propose d'exprimer les déris^ées partielles de z par rapport aux variables x, y, au moyen de m, v^ cv, et des dé ris^ées partielles de w par rapport aux variables u et s?.
Ce problème se ramène à celui qui vient d*étre traité. Si Ton suppose en effet que w ait été remplacé dans les formules (3o) par une fonction de u et de r, on a les expressions de x^y^ z au moyen des deux paramètres u et Vy et il suffit de reprendre la méthode précédente en considérant/, (p, if comme des fonctions composées de II, Vy la variable w étant traitée comme une fonction intermédiaire de u et (^. On a, par exemple, pour calculer les dérivées du premier ordre/?, çr, les deux relations
d^ d'^ dw ^ ( àf df dvif\ / d^ d"^ dw\
du dw du '~^\du dsv du ) ^ \du dsv du)^
d^ d^ dw ^ / df df dw\ /do d^ dw\
dç dw dv ~~^\dsf dw dv / ^ \dv dw dv )
et de même pour les dérivées suivantes.
En langage géométrique, le problème précédent peut s'énoncer comme il suit : A tout point m de l'espace, de coordonnées (^,j^, ^), on fait correspondre, par une construction déterminée, un autre point M, de coordonnées X, Y, Z. Lorsque le point m décrit une surface S, le point M décrit une surface 2, dont on se propose de déduire les propriétés de celles de la première.
Les formules qui définissent la transformation sont de la forme
soient
les équations des deux surfaces S, S. 11 s'agît d'exprimer les dérivées partielles P, Q, R, S, T, • ♦ . de la fonction <E>(X, Y) au moyen de x^ y^ z et des dérivées partielles p^ q^ r^ s^ t^ ... de la fonction F(j?, jk)- C'est précisément, à la diflférence de notations près, le problème que nous venons de traiter.
Les dérivées premières P et Q ne dépendent que de x^ y^ z^ p, q^ de sorte que la transformation change deux surfaces tangentes en deux surfaces tangentes. Mais ce ne sont pas les transformations les plus générales qui jouissent de cette propriété, comme on le verra par les exemples ci-dessous.
41. Transformation de Legendre. — Soit z=f{x^y) l'équation d'une surface S; au point m{x^ y^ z) de cette surface, faisons correspondre le point M,. de coordonnées X, Y, Z, en posant
X=p, Y = y, Z=zpx-\-qy — z,
et soit Z=:<[>(X, Y) l'équation de la surface S décrite par le
point M. Si l'on imagine qu'on ait remplacé 5, />, q par/, j^» -^^
on a les expressions des trois coordonnées du point M en fonction des deux variables indépendantes x eiy.
Désignons encore par P, Q, R, S, T les dérivées partielles de la fonction <E>(X, Y); la relation
nous donne
fi?Z = PrfX-hQrfY
ou
p dx -\- q dy -\- x dp -^ y dq — dz = P dp-i-Qdq X dp -r- y dq = ^ dp -{'Çl dq.
Supposons que, pour la surface considérée, /> et ^ ne soient pas fonctions l'une de l'autre, de telle sorte qu'on ne puisse avoir une identité de la forme X û^ -{- [jl rfy = o sans que l'on ait, à la fois, X = [X = o. On déduit alors de la relation qui précède
P = or, Q =y.
Pour avoir R, S, T, nous partirons de même des relations
d? = KdX-^SdX, d(l = SdX-^T d\.
