III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

qui deviennent ici, en remplaçant X, Y, P, Q par leurs valeurs,

dx = ^{ r dx -^ s dy) -+■ S(sdx -^ idy), dy = S{r dx -^ s dy) 'i-T(s dx -\- tdy);

on en tire

Rr-4-S5=i, R54-S^ = o,

Sr-t-T5 = o, Ss-hTc= I, et, par suite,

ri — 5* rt — s' rt — 5*

Des formules précédentes on déduit inversement

x = P, y = q, ;5 = PX-hQY-Z, /> = X, ^ = Y,

'' - RT — S» ' * ~ RT — S« ' ' ~ RT — b» '

ce qui prouve que la transformation est réciproque. D'ailleurs, c'est bien une transformation de contact, puisque X, Y, Z, P, Q ne dépendent que de x, y, z^ />, q. Ces propriétés deviennent intuitives, si Ton observe que les formules définissent une transformation par polaires réciproques^ relativement au paraboloïde

Remarque. — Les expressions de R, S, T deviennent infinies lorsque, en tous les points de la surface décrite par le point m, on a la relation rt — 5^= o. Dans ce cas, le point M décrit une courbe, et non une surface, car on a

et de même

Cest précisément le cas qu'on a laissé de côté.

42- Transformation d'Ampôre. — Les notations restant les mêmes que dans l'exemple précédent, posons

X = x, Y = q, Z^qy — z; la relation

dZ = PdX-h(ldY

devient

q dy -T- y dq — dz = P dx-\-Q^dq j

ydq—pdJC^Pdx-i-Qdq'j on a donc

P = -p, Q=7, et inversement

a: = X, ^ = Q, ^ = QY-Z, /> = -P, y = Y,

de sorte que la transformation est bien une transformation de contact et réciproque. La relation

dP==Rd\^Sd\ donne ensuite

— rdx — s dy =zRdx-h S(5 dx -^ t dy),

c'est-à-dire

R-4-Sj = — r, S/ = — s,

et l'on en tire

en partant de la relation cf Q = S c?X h- T rfY, on trouvera de même

Proposons-nous, comme application de ces formules, de trouver toutes les fonctions /(a?,/) qui satisfont à la relation rt — *' = o. Soient S la surface représentée par Téquation z =f{x, y), 2 la surface transformée, et Z = 4>(X, Y) l'équation de 2. D'après la formule qui donne R, on doit avoir

et 4> doit être une fonction linéaire de X,

Z = Xy(Y)+^-(Y), cp et <{/ étant des fondions arbitraires de Y. On en déduit

et les coordonnées (a?, y, z) d'un point de la surface S s'expriment inversement en fonction des deux variables X, Y, par les formules

x = X, ^ = X<p'(Y)H-t'(Y), ^ = Y[X<?'(Y)H-f(Y)]-Xç(Y)-.KY);

l'équation de cette surface s'obtiendra en éliminant X et Y ou, ce qui revient au même, en éliminant le paramètre variable oc entre les deux

m. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 9I

équations

dont ia première représente un plan mobile dépendant du paramètre a, tandis que la seconde s'obtient en dilTérentiant la première par rapport à ce paramètre. On obtient ainsi des sur/aces développables, qui seront étudiées plus tard.

43. Équation du potentiel en coordonnées curvilignes. — Les calcul s qu'exige un changement de variables peuvent, dans bien des cas, être simpHGés par différents artifices. Je prendrai pour exemple l'équation du potentiel en coordonnées curvilignes orthogonales (i). Soient

F (ar,^, ^) = p, Fi(a?, J^, -5)= ?u

les équations de trois familles de surfaces formant un système triple ortho gooal, deux surfaces quelconques appartenant à deux familles différentes se coupant toujours à angle droit; si Ton résout ces trois équations, on en tire x^y, z en fonction des paramètres p, pi, pi,

( z = «î(p, pt, pO;

pf Pu pt forment un système de coordonnées curvilignes orthogonales.

Puisque les trois surfaces précédentes sont orthogonales, les tangentes aux courbes d'intersection de ces surfaces prises deux à deux doivent former un trièdre trirectangle; il faut donc que l'on ait

^^^^ Oàpdpt'-''' ï^^Pi^""' Od^dpr"^'

le signe x indiquant que l'on doit remplacer (p par qi, puis par (pi. Ces conditions d'ortbogonalité peuvent encore s'écrire sous la forme équivalente

dx dx ây dv àz âz '

dx dx dx dx

i * ) Lamé, Traité des coordonnées curvilignes. Voir aussi Bertrand, Traité de Calcul différentiel, tome I, p. 181.

Gela posé, cherchons ce que devient l'équation du potentiel

avec les variables p, pi, p^; on a d'abord

d\ d\ dp d\ dp, d\ dpi

dp dx dpx ôx ' dpi dx

puis

""dp» \dx) "^ dp\\dx) '^ dp\ \dx)

dx^

d^y dp dpi d^\ dpi dpi d'V dp dp^

dp dpi dx dx dpidpi dx dx àpdpi dx dx

d\ d^p . dV d>p, d\ d»p.

dp dx^ dp y dx^ dpi dx*

En ajoutant les trois équations analogues, les dérivées du second ordre

d*\ telles que ;^— j— disparaissent dans la somme, en vertu des relations (33),

et il reste

dz*

dx* dy

i.(pi)

dpf

Al et At désignant les paramètres différentiels de Lamé

Les paramètres différentiels du premier ordre Ai(p), Ai(pi), Ai(pi) se calculent facilement. Des relations (3i) on tire

dcp dp d^ dpi dç dpj __ dp dx dpi dx dpi dx *

dot dp ^ d^i dpi ^ d^i dpi ___ ^ dp da: dpt dx dpj da? *

àot àp ^ dot dpi ^ d<pi dpt ^ dp da? dpi da? dpj dx '

dcp dcPi dcp* et, en multipliant ces trois équations par — -> -—-y -^9 et ajoutant,

da:

dcp àp

{%hmHw