III. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. gS

OD calcule de même ^ et -r^» et il vient

oy oz

Si donc Ton pose

le signe ^ indiquant toujours qu'on doit remplacer ^ par cpi, puis par cpt, el ajouter, on a

Ai(p) = j[' Ai(pi)=jî-' Ai(pj)=jj--

Lamé obtient les expressions de A)(p), At(pi), ^t{pt) en fonction de p» pi) pst P^i* un calcul assez pénible, que Ton peut abréger comme il suit : Dans l'identité (34),

faisons successivement V = ar, V =^, Y = z; nous avons les trois relations

qu'il n'y a plus qu'à résoudre par rapport à At(p), As(pi), ^^{pi). On en lire, par exemple, en les multipliant par -^y -j^y -^9 et ajoutant,

D'ailleurs on a

Sd<p (^'o I <^H dp âp^ ~~ 2 dp '

et, en dilTérentiant la première des relations (32) par rapport à pi, il vient

Sd^ à^^ ^ Q ào d^o ^ 1 âl] dp dp\ ~" ^àpi àpdpi ~" • a (?f

1 (HJh

On a de même

dp dpl

a dp

et, par suite,

En

i dH I âUi I âUj

*^P^~ 2H« âp'^iHHt dp "^aHHi dp

posant H = ^> H| = t^? Hi= ttï» cette formule devient

et Ton a de même

^.(p.) = *î 4; {""'èù ' ^'^p') = *' ¥. 0«s&)

La formule (34) devient donc en définitive

àx* ôjr* dz^

hl

di\

dp^ ' "^ dp\ ' dpi

.à / h \dV ,. à /. hi\ d\

'''''Tp{''^l^J^^'''di,V'^7â^)di,

ou, sous une forme plus condensée,

A, V = hhi ht

\.àp \h^ht

dp ) dp

dpi \hhi dpx) dpi \hhi dp^J]

Appliquons cette formule au?i coordonnées polaires. Les formules de transformation sont, en remplaçant pi et pt par 0 et ^,

a: = p sinô C0S9, j/* = p sin6 sincp, -3 = pcosô, et les coefficients A, A], As ont les valeurs suivantes :

A = i A| = - > Aj = — ; — sî

p psinO

la formule générale devient donc

^»^=^[è(p-'""*»f) + i(*'"'S)^^(iiêS]

OU, en développant,

a«y 1 d'v I d«v 2^ cote d\

' dp« "^ p« <^e« "*" p«5în«e (^<p> ■*" p dp ■*" p> d6 *

comme il est facile de le vérifier directement.

1. En posant m = a?'-hj^*-<- «*, v = x-hy-\- z, w = xy -\- yz -h zx, on a identiquement ^^^ — ^ =0. Trouver la relation qui lie u, p, w.