Même question pour Téquation
d^z dz âz
quand on fait le changement de variables x = uv, y = -'f
li. 'Soit o(xi,â72, . . .sXfi] Ui, utj . .., ^^/») une fonction des 2/i variables indépendantes :r|; Xi^ ..., 27;,, i^i, Us, ..., u^} homogène et du second degré par rapport aux variables Ui, Uj, . . ., Un* Si l'on pose
d^ do do
et qu'on prenne />i, /^s. • • -i />a pour variables indépendantes à la place de (it) u%i • ••) l'/i) la fonction <p se change en une fonction
^{Xxi Xti . .., Xn\ Pu Piy ' "y Pn)'
Démontrer les formules
15. En chaque point iM d'une surface S, on mène la normale MN dont G. 7
98 CHAPITRE II. — FONCTIONS lUPLICITES, ETC.
on prend le point de rencontre N avec un plan fixe P, puis on porte sur la perpendiculaire au plan P menée par ce point N une longueur N m = NM. Trouver le plan tangent à la surface décrite par le point m.
La transformation précédente est une transformation de contact. Etudier la transformation inverse.
16. A partir des différents points d'une surface donnée S, on porte, sur les normales à cette surface, une longueur constante l; chercher le plan tangent à la surface £, lieu des points ainsi obtenus (surfaces parallèles).
Même problème pour une courbe plane.
17. 'Étant donnés une surface S et un point fixe 0, on joint le point 0 à un point quelconque M de la surface S; par le rayon OM et la normale MN à la surface S au point M on fait passer un plan OMN. Dans ce plan OMN on élève, par le point 0, une perpendiculaire au rayon OM sur laquelle on porte une longueur OP = OM. Le point P décrit une surface £, qui est dite Yapsidale de la première. Trouver le plan tangent à cette surface.
La transformation précédente est une transformation de contact, et il y a réciprocité entre les surfaces S et Z. Lorsqu'on prend pour la surface S un ellipsoïde, le point O étant au centre, la surface £ est la surface des ondes.
18. ^Invariants dijférentiels d^Halphen. — L'équation différentielle
^ \ dxy dx- * dx^ dx^ dx^ -+- 4" \^ ^^,y
ne change pas de forme quand on effectue sur les variables x^ y^ une transformation homographique quelconque (n** 37).
