Dans l'expression

V dx^Ç^dy ~\-^dz,

où P, Q, R sont des fonctions quelconques de x^y, z, on pose x=f{u, p, w), y = <p(M, V, w), z = 4/(1*, 0, w),

u, Vj w étant de nouvelles variables; elle se change en une expression de

même forme

Pidu -^ Clidv -h Rfdwj

Pi» Qi> ï^i étant des fonctions de m, p, w. Vérifier que l'on a identiquement

en posant

20. ^Covariant bilinéaire, — Soit %d une forme linéaire de différentielles

où X|, Xj, . .., Xn sont des fonctions des n variables xx, x^, . . ., Xn» On considère l'eupression

H =^ ^ ûr/;fc cte/ Sa^Aoù l'on a posé

àxfe àxi

et où figurent deux systèmes de différentielles d^ 8. Si Ton fait un changement de variables quelconque

^i = ?/(j^i>7î> •••i^/i) (1 = 1, 2, ..., n) re\pression 6^ se change en une expression de même forme

e'rf = Y, dyx -f-. . .-h Y;, dyn, où Yj, Yj, . . ., Y„ sont des fonctions de y^^ y^, • "i yn] soient de même

a' = ^ ^ '^' ày/c dyi et

^'=^^o,'ikdyt^yk'

• On a identiquement H = H', pourvu qu'on remplace dxi et Zxk par

4ri àyt -^^ dyn "^

respectivement. On appelle H un covariant bilinéaire de 6^.

21. * Paramètres différentiels de Bel tr ami. — Etant donnée une

expression

E dx^ -If ^¥ dx dy -^ Gdy^,

où Ë, F, G sont des fonctions des variables x^ y, on fait un changement

de variables x=J{Uj v)^y r=çp(M, t?), et Ton obtient une expression de

même forme

El du?^ 4- 2 Fj <ia rff -h Gi dv'^y

lOO CHAPITRE II. — FONCTIONS IMPLICITES, ETC.

OÙ El, Fj, Gi sont des fonctions de u et de v. Soient 6(ar, y) une fonction quelconque des variables x, y, et 61 (w, v) ce qu'elle devient par ce changement de variables. On a identiquement