I. — FORMULE ET SÉRIE DE TAYLOR. - GÉNÉRALITÉS

44. Formule générale. — Lorsque /(a:) est un polynôme entier de degré n, on démontre, dans tous les Cours d'Algèbre, que l'on a, quels que soient les nombres a et A,

le développement s'arrête de lui-même, puisque toutes les dérivées sont nulles, à partir de la {n -f- 1)*^"*". Si l'on voulait appliquer cette formule à une fonction /(^), différente d'un polynôme, le second membre se composerait d'un nombre illimité de termes; pour savoir la valeur qu'il convient d'attribuer au développement que l'on obtiendrait ainsi, nous allons d'abord chercher une expression de la différence

en supposant seulement que la fonction /*( a:) est continue^ ainsi que les n premières dérivées /'(.r),/"(j?), . . . ,/^'''(^), lorsque a: varie de a k a -{- h, et que f^"^{x) admet elle-même une dérivée y(«+i)^jjj dans cet intervalle. Les nombres a et A étant donnés, posons

p étant un nombre entier positif quelconque. Le nombre P étant

lOft CHAPITRR III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

défini par cette égalité, coosidérons la fonction auxiliaire

on a évidemment

la première relation résultant de la formule (2) qui déGnit le nombre P, Or il résulte des hypothèses faites sur /(x) que la fonction o{x) admet une dérivée dans l'intervalle (a, a + A); Féquation (p'(a;) = o doit donc avoir, d'après le théorème de RoUe, une racine a-f-OA comprise dans cet inten'alle, 9 désignant un nombre positif compris entre zéro et un. Si Ton calcule f'(^)y il se produit des réductions évidentes, et il reste

Le premier facteur (« + A — x)p^* ne peut s'annuler pour une valeur de x différente de a + A; il faut donc que Ton ait

P = A«-p+i(i — 0)'»-P+i/(«-^»J(a H- e A), où o < e < I, et en remplaçant P par cette valeur dans formule (2), il vient

en posant

Nous appellerons cette formule (3) la formule générale de Taylor; le dernier terme R,, s'appelle le reste. Ce reste dépend d'un nombre entier positif /?, que nous avons laissé indéterminé. Dans la pratique, on ne prend guère pour ce nombre p que Tune des deux valeurs/? = n + i , ou /? = i ; si l'on fait jd = /i -j- i , on trouve l'expression du reste due à Lagrange

R„= ^:!1! fin+Di^a-h^h);