FORMULE ET SÉRIE DE TATLOR. — GÉNÉRALITÉS

si Ton fait/? = i , il vient

forme du reste qui est due à Cauchy. Il est d'ailleurs évident que le nombre 0 n'a pas généralement la même valeur dans les deux formules. On peut aussi l'écrire, en supposant /^"+*^ (a?) continue pour x = a,

e étant infiniment petit en même temps que h.

Prenons, pour fixer les idées, la forme de Lagrange; si, dans la formule générale (3), on fait successivement /i = 2, /i=.3, n = 4, .•• on a autant de formules distinctes, qui donnent des valeurs de plus en plus approchées de /(a -f- h) pour les valeurs de h infiniment petites. Ainsi, pour /i = 2, on a

ce qui montre que la difTérence

est un infiniment petit du second ordre. De même la différence

est un infiniment petit du troisième ordre et, en général,

/(aH-A)-/(a)-^/'(a)-...-^/^«H«)

est un infiniment petit d'ordre n-\-i par rapport à h. Mais, pour avoir une idée exacte de l'approximation obtenue en négligeant R,,, il faut encore avoir une limite supérieure de ce reste. Si l'on désigne par M une limite supérieure de la valeur absolue de/^""^* ^ (x) dans le voisinage de a: = a, soit de a — r, àa + 7^, on a évidemment

Rn|< '-^, M,

pourvu que l'on ait aussi |A] •< v^.

43. Application aux courbes. — Ce résultat peut s'interpréter géométriquement. Supposons qu'on veuille étudier la courbe C ayant pour équation y=f{^)^ dans le voisinage du point A, d'abscisse a. Considérons en même temps la courbe auxiliaire C, représentée par l'équation

Y =/(«)+ £rz2 /'(a) + l^Z:^ /•(«) + ...+ ^-^=^ /(«'(a);

une parallèle à l'axe des y, x = a -\- h^ rencontre les deux courbes C et C en deux points M, M', voisins du point A; la différence de leurs ordonnées est égale, d'après la formule générale, à

Cette différence est un infiniment petit d'ordre /i + i, de sorte qu'en se bornant à un intervalle assez petit (a — t^, a-f-Tj), la courbe Cse confondra sensiblement avec la courbe C. En prenant pour l'entier n des valeurs de plus en plus grandes, on aura des courbes G différant de moins en moins de la courbe C, et des renseignements d'autant plus précis sur Vallurc de la courbe C au voisinage du point A.

Prenons d'abord /i = i; la courbe C se confond alors avec la tangente à la courbe C au point A,

et l'on a, pour la différence des ordonnées des points M et M' de la courbe et de la tangente correspondant à une même abscisse a -h A,

^-Y- — /"(a-^-OA);

supposons, ce qui est le cas général, /"(a) ^o. On peut encore écrire

£ étant infiniment petit avec A. Puisque e tend vers zéro en même temps que A, choisissons, ce qui est possible, un nombre positif?} tel que, h variant de — yi à -+- vi, on ait \t\<i |/"(^)l- Pour ces valeurs de A, la quantité /''(a) -h e aura le même signe que /^{a)i