I. — FORMl'LE ET SÉRIE DE TAYLOR. — GÉNÉnALlTÉS. I

el r — Y aura aussi le signe de /"(a). Si /"(<?) > o, l'ordonnée^ de la courbe est supérieure à l'ordonnée Y de la tangente, quel que soit le signe de h ; la courbe C est située tout entière au-dessus de la tangente dans le voisinage du point A. Au contraire, si f{ct)<C o, on di y <, Y, el la courbe est tout entière au-dessous de la tangente dans le voisinage du point de contact.

Si /''(«)=: o, soit f^P^ (a) la dérivée de Tordre le moins élevé qui n'est pas nulle pour x = a, k partir de la seconde; on a encore

el Ton démontre, comme tout à Theure, que dans un intervalle assez petit (a — */;, a -|-7j), la différence y — Y a le même signe que le produit hP/'^P^{a). Lorsque p est |)air, celte différence ne change pas de signe, lorsque h varie de — r^ k -h -O, et la courbe est tout entière d'un même côté de la tangente dans le voisinage du point de contact. Mais, si p est impair, la différence y — Y change de signe en même temps que h] la courbe C traverse sa tangente au point de contact. Le point A est un point d'Inflexion; c'est ce qui a lieu, par exemple, si l'on dif"'{a) y^ o. Prenons ensuite n = 2. La courbe C est une parabole

Y-/(a)^(^-a)/^'«)-r-^-^lf;^V'(«), dont Taxe est parallèle à O^, et il vient

^^ f"{(i) n'est pas nul, y — Y a le signe de h^f"{a) pour les valeurs de h infiniment petites, et la courbe G traverse la parabole C au point A. Cette parabole CI est dite osculatrice à la courbe C; c'est, parmi les paraboles représentées par une équation

de la forme

Y = mx^-h nx -h p,

celle qui se rapproche le plus de la courbe C dans le voisinage du point A.