Méthode générale de déTeloppement. — La formule

lo6 CHAPITRE III. - FORMULE DE TAYLOR, ETC.

fournil pour rinfîninienl petil/(a -r- h) — /(«) un développement suivant les puissances croissantes de h. D^une façon plus générale, soit X un infiniment petit principal que, pour éviter toute difGculté, nous supposerons positif, et y un autre infiniment petit qui a une expression de la forme

(4) / ~ Aij:«i-+- Aja;'»»-^. . .-hx"p{Xp^ e),

/?!, n2, . . ., np étant des nombres positifs croissants, mais non pas forcément entiers, A|, A2, . . . , A^, des constantes différentes de zéro, et e un autre infiniment petit. Les nombres n^^ A|, /ij, A2, . • . peuvent se déterminer de proche en proche par un calcul régulier. D'abord il est clair que /i| est égal à Tordre infinitésimal

de ^ par rapport à x, et A| est égal à la limite du rapport -^ pour J7 = o. On a ensuite

ce qui montre que /I2 est égal à Tordre infinitésimal de u^ et A2 à

la limite du rapport —~y et Ton continuera de même pour avoir

les termes suivants. Il est visible, d'après cela, qu'un infiniment petit y ne peut admettre deux développements essentiellement différents de la forme (4); si les deux développements ont le même nombre de termes, ils sont identiques; si l'un d'eux a p termes, et l'autre p -h q termes, les termes du premier se retrouvent dans le second. Cette méthode s'applique en particulier au développement de /{a -{- h) — /{^) suivant les puissances de A, sans qu'il soit nécessaire d'avoir obtenu d'abord l'expression générale des dérivées successives de la fonction f{x)\ elle donne au contraire un moyen pratique de calculer les valeurs des dérivées /'(a), /"(a), ....

Exemples, — Considérons l'équation

(5) ¥{x^y)— Aar«-+- }ày -h xy^(x, y) -4- Ca7'»-»-»-4-. ..-+- Dj*-i-... = o,

OÙ ^{x^ y) est un polynôme entier en x et j^, et où les termes non écrits forment deux poljnomes P(:c) et Q(^), divisibles respectivement par ^"'*'* et par j>^*; les coefficients A et B sont l'un et l'autre différents de zéro. Lorsque x tend vers zéro, il y a une