I. — FORMULE ET SÉRIE DE TAYLOR. — GÉNÉRALITÉS. IO

racine y de l'équation (5) et une seule qui tend vers zéro (n° 20); pour appliquer la formule de Taylor à cette racine, il faudrait avoir les dérivées successives, que l'on pourrait calculer par l'applicalion des règles générales. Mais on peut opérer plus directement au moyen de la méthode précédente. Observons pour cela que la partie principale de la racine infiniment petite est égale

à — ^ X"; en effet, si nous posons, dans l'équation (5),

r = ^''(--jj-^ri)»

CD faisant la substitution et divisant par x'^^ il reste une équation de même forme n'ayant qu'un terme du premier degré en yi, qui est B^i ,

Lorsque x tend vers zéro, l'équation (6) admet une racine infiniment petite en ^i, et par suite la racine infiniment petite de

l'équation (5) a bien pour partie principale — » ^''- Pour la

même raison, la partie principale de^i est ^ x'^^^ et l'on peut

poser aussi

y^ étant un nouvel infiniment petit, dont on aurait la partie principale en posant dans Péquation (6)

/ Al

En continuant de la sorte, on obtient pour cette racine y une expression de la forme

que l'on peut pousser aussi loin que l'on voudra sans être arrêté. Tous les nombres /i, n^ , /îj, . . , . rip sont bien des nombres entiers, comme cela doit être, puisque nous sommes dans les conditions où la formule générale (3) est applicable. Le développement que Ton obtient parle calcul précédent n'est pas autre chose, en effet,

I08 CHAPITRE m. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

que celui que donnerall la formule de Taylor en y faisant a = o,

Voici un au ire exemple où les exposants ne sont pas nécessairement des nombres entiers. Soit

y :rz ,