I. — FORMULE BT SERIE DE TAl'LOR. — GENERALITES. III

dx fiY passe par Torigine, et l'on a, en ce point, - - = -^- = o. La tangente est

Taxe des x^ et l'origine est un point de rebroussement de première espèce.

48. Série de Taylor. — Lorsque la suite des dérivées de la fonction /(ar) est illimitée dans l'intervalle {a, a + /i), on peut supposer le nombre n qui figure dans la formule (3) aussi grand qu'on le veut; si le reste R^ tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, on est conduit à écrire

formule qui exprime que la série

est convergente et a pour sommey*(a -h A). C'est cette formule (7) qui constitue la formule de Taylor proprement dite, mais elle n'est légitime que si l'on a établi que le reste Kn tend vers zéro pour n infini, tandis que la formule générale (3) ne suppose que l'existence des dérivées jusqu'à la (/i + i)'*^™*. Cette formule (7) peut encore s'écrire, en remplaçant a par x^

au contraire, si l'on fait a -= o, et qu'on remplacée par x^ il vient

I I . <b • • • lit

Celte dernière formule (8) est appelée aiissiquel quefois/or/ww/e de Maclaurin; mais on doit remarquer que ces différentes formules sont au fond équivalentes. Tandis que la formule (8) donne le développement d'une fonction de x suivant les puissances de x^ la formule (7) donne le développement d'une fonction de h suivant les puissances de h : il'sufiit d'un simple changement de notation pour passer de l'une à l'autre.

Il est un cas assez étendu où l'on peut affirmer que le terme complémentaire R„ tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment : c'est celui où la valeur absolue d'une dérivée d'ordre

quelconque reste inférieure à un nombre fixe M, lorsque x varie dans rintervalle (a, a + A). On a en effet, en adoptant la forme du reste de Lagrange,

l.-i. ..(/IH- l)

et le second membre est le terme général d'une série convergente. C'est ce qui arrive pour les fonctions e^, sinor, cosa:; toutes les dérivées de e^ sont égales à e^ et admettent, par conséquent, le même maximum dans l'intervalle considéré. Quant aux dérivées de ûnx et de cosx, leur valeur absolue ne dépasse jamais l'unité. La formule (7) est donc applicable à ces trois fonctions, quelles que soient les valeurs de a et de A. Bornons-nous à la formule (8) ; SI /{x) = e^j on a

et par suite

formule qui s'applique à toutes les valeurs, positives ou négatives, de X. Si a est un nombre positif quelconque, on a a^= ^ios« et, par conséquent,

Prenons encore /(x) = sin a:; les dérivées successives forment une suite périodique à quatre termes cosx, — sinx, — cosj:, sinx, et les valeurs de ces dérivées pour x =^ o forment également une suite périodique 1,0, — 1,0. On a donc, pour toute valeur positive ou négative de x,

(11) sina:= h — -^-^ ...f(i)«

et l'on trouve de même

(12) cosa: = l ! -~- — ...-!-( i)/t 1-....

Revenons au cas général. La discussion du reste R„ est rarement aussi simple que dans les exemples précédents; mais on peut