I. ~ FORMULE ET SÉRIE DE TATLOR. — GÉNÉRALITÉS. Il

fa faciliter en remarquant que, si ce reste tend vers zéro, la série

k L » Jt m » • fit

est nécessairement convergente. En général, il vaut mieux s^assurcr, avant d^exaniiner R;,, que la série est convergente; si, pour des valeurs données de a et de A, cette série est divergente, il est inutile de pousser la discussion plus loin : on peut affirmer que R;i ne tend pas vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.

49. Développement de log(i + x). — La fonction log(i-l-a:) est continue, et la suite de ses dérivées est illimitée, pourvu que x soit supérieur à — i . Ces dérivées successives ont pour expressions

/ (^) = ; Tî'

•^ ^ ^ ^ ^ (i-ha:/*

Nous nous proposons d'examiner pour quelles valeurs de a: on a le droit d'appliquer à celte fonction la formule de Maclaurin (8). En écrivant d'abord la formule sous sa forme générale, avec un terme complémentaire, on a

log(i H- ar) = - — — -H - -h. . .-h (- i)«-i — -+- R„.

Le reste R;, ne peut tendre vers zéro que si la série

est convergente, ce qui n'a lieu que pour des valeurs de x comprises entre — i et H-i, la limite supérieure +i n'étant pas exclue; la variable x étant supposée comprise entre ces limites,

Il4 CHAPITRE III. — FORUULE DE TATLOR, ETC.

écrivons la valeur du reste sous la forme de Cauchy

a-^-^'Çi — Qy* (—1)^1.9.... .71 __ arit-n(i — e)«

"~* 1.1. ..n (i-i-Ox/»-»-» ""^~'^'* (i-i-ea?)'*-^! '

ou encore

Rn=-(-î)«^«-^»('-^-V— V- ^ ^ \i-+-Oa?/ i-hOa;

Supposons d'abord |jf[<[i; le premier facteur x""^* tend vers

zéro; le second facteur r— est inférieur à l'unité, que x soit

positif ou négatif, car le numérateur est plus petit que le dénominateur. Le dernier facteur reste fini, car il est plus petit que , •

Donc le reste Rn tend bien vers zéro, lorsque n augmente indéfiniment. La forme précédente du reste ne nous apprend rien pour X = i, mais si l'on prend le reste sous la première forme, il devient ici

et il est évident que R/i tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. L'examen du reste est inutile pour x = — i, puisque la série est alors divergente. On a donc, pour x compris entre — i et -t- I,

(i3) log(n-a:) = - — ^ "^ T ~"" '"^ (""')'*"* "^ "^•••*

La formule s'applique encore pour x = i^ ce qui nous donne la relation curieuse

^ ^ jL S i n

La formule (i3), n'étant valable que pour des valeurs de x£i,

ne permet pas de calculer les logarithmes des nombres entiers.

Changeons dans cette formule x en — a:; la nouvelle formule

1 / V X x^ œ^ x^ (i3) log(i--a7) = --... ...

est encore valable pour les valeurs de x comprises entre — i et