I. — PORUULB ET SÉRIE DE TAVLOII. — GÉNÉRALITÉS. Il

-4- I, et, en les retranchant membre à membre, il vient

lorsque x varie de o à i, la fraction rationnelle croît con-

slamment de i à H- <x>, et l'on peut ainsi calculer les logarithmes de tous les nombres entiers. On obtient des séries encore plus convergentes en calculant la diiïérence des logarithmes de deux nombres entiers consécutifs; posons pour cela

H-ar N -+- 1 I

la formule précédente devient

^ ' ^ L2N-+-1 3(,'2Nh-ij' 5('2iNh-i)» J'

et l'on a dans le second membre une série très rapidement convergente, pourvu que le nombre N soit un peu grand.

Remarque, — Appliquons à la fonction log(i + â7) la formule générale (3) en faisant a = o, A = a?, /i = i , et prenant pour le reste la forme

de Lagrangc, il vient

si dans cette formule on remplace x par Tinverse d'un nombre entier n, elle peut s'écrire

log( H- - )= -,

Oa étant un facteui** positif inférieur à Tunité. On déduit de là quelques conséquences intéressantes :

1*" La série harmonique étant divergente, la somme

croit indéfiniment avec n, mais la différence

2„— logn tend vers une limite finie. Écrivons, en effet, cette différence

Il6 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

log( i-\ — j est le terme général d'une série convergente, car Ton a,

d'après la formule précédente,

p \ pj '>'P^

ce qui montre que ce terme est plus petit que le terme général de la série convergente ^— j* Quand n augmente indéfiniment.

log^=log(,+ i)

tend vers zéro; la différence considérée tend, par conséquent, vers une

limite finie, que l'on appelle constante d'Euler. Sa valeur est, avec vingt

décimales exactes, C = 0,577215664901 532 860 60.

a° Soit

n et p étant deux nombres entiers qui augmentent indéfiniment. On peut écrire

2 = ( IH h...~i ! ) — ( 1 H h. ..H ),

= Iog(/i-f-y?)-t-p„+p,

= logn ^- On,

Pn-^-p 6t pn tendant vers la môme valeur G, lorsque n et p augmentent indéfiniment; par conséquent, on a aussi