I. — FORMULE ET SÉRIE DE TAYLOR. — GÉNÉRALITÉS. II

sitif ; elle admet une suite illimitée de dérivées qui sont toutes des fonctions continues de Xy lorsque i -^ x est positif, car elles ont une expression de même forme,

J^»'{x) = m(fn — i)...{m — /i -i- i)(i -|-a7)'«-«, f^n-hi)(^x) = /n(m — I) . . . (m — /i)(i -+-ar)'«-»-i.

Appliquons à celte fonction la formule générale (3), nous trouvons

(l -t-a7)'«= IH X-{ J7*-f-. . .

pour que le reste R^ tende vers zéro lorsque le nombre n augmente indéfiniment, il faut d'abord que la série dont le terme

général est

soit convergente. Or le rapport d'un terme au précédent a pour valeur jc, et tend vers — x lorsque n augmente indéfiniment. La série ne peut donc être convergente que si l'on a [ j:| £ i . On exclut, bien entendu, le cas où m est un nombre entier positif, qui donne la formule élémentaire du binôme. Bornons-nous au cas où |jc| <:^ I ; pour prouver que le reste tend vers zéro, écrivons-le, en adoptant la forme de Cauchy,

i.2.../i \i-i-Ojp/ ^

le premier facte^ir '-^ — — x'*"'"' tend vers zéro, comme

étant le terme général d'une série convergente; le facteur -^-â—

est plus petit que l'unité, enfin le dernier facteur (i -f- Ox)"*'* est plus petit qu'une limite fixe. Si m — i >>o, on a en efl'et

si m — I <o, on a (i -h 8x)'""' <(i — |x|)'»"'. On a donc, pour

Il8 CHAPITRE 111. — FORMULE DE TAYLOR^ ETC.

toute valeur de x comprise entre — i et -t-i, le développemeDt

(, . m m (ni — i )

on examinera plus tard le cas où :r = ± i .

On peut encore démontrer de la même façon les formules suivantes