J .6. . . in 2/1 H-I

arctangar = a?— ^ -h -- — — h. . .-4- (— 1)« h. . .,

qui seront établies plus tard par une voie plus simple, et qui s'appliquent aux valeurs de x comprises entre — i et i- i.

En dehors des exemples que nous venons de traiter, et de quelques autres, la discussion du reste offre de grandes difficultés, à cause de la complication croissante des dérivées successives. 11 semblerait donc, d'après ce premier aperçu, que les applications de la formule de Taj'lor pour le développement d'une fonction en série doivent être très limitées. Une telle vue serait absolument inexacte, et ces développements jouent au contraire un rôle fondamental dans rAnaljrse moderne. Mais, pour apprécier leur importance, il faut se placer à un autre point de vue, et étudier en ellesmêmes les propriétés des séries entières, sans se préoccuper de leur origine. G*est ce qui sera fait dans plusieurs des chapitres suivants.

Nous remarquerons seulement qu'une série

peut fort bien être -convergente, sans représenter la fonction y(x)

qui lui a donné naissance; l'exemple suivant est dû à Cauchj.

Soit /(x) = e •*'; on a f{x) = -j e *' et, d'une manière gêné-

raie, la dérivée /i'^"^.est de la forme

P -if^"Ux) = — e •»*,