I. — FORMULE ET SÉRIE DE TAYLOR. — GÉNÉRALITÉS. II

P désignant un polynôme. Toutes ces dérivées sont nulles pour

:r = o, car le quotient de e "^^ par une puissance positive quelconque de X tend vers zéro avec x\ on peut écrire en effet

Xfn "" C-'

en posant x= > et Ton sait que —^ augmente indéfiniment avec z^

aussi grand que soit m. Soit, d^autre part, ^{x) une fonction à laquelle s'applique la formule (8)

I 1 • ^ • > • il

Posons F{ar) =: cp(x) -H ^ '*;ona

de sorte que le développement de F(:r) par la formule de Mactaurin serait identique au précédent. La somme de la série que Ton obtient ainsi représente donc une fonction tout à fait différente de celle qui a donné naissance à cette série.

D'une façon générale, si deux fonctions /(a:) et (p(j;) sont égales, ainsi que toutes leurs dérivées, pour j: = o, sans être identiques, il est clair qu'elles ne peuvent élre toutes les deux développables en série par la formule de Maclaurin, puisque les coefficients du développement seraient les mêmes pour les deux fonctions.

51. Extension aux fonctions de plusieurs variables. — Soit, pour fixer les idées, co ==y(jr,y, z) une fonction de trois variables indépendantes ; on se propose de dé velopper/(a: -f- A, j' -h A", ^ H- /) suivant les puissances de A, A*, /, en groupant ensemble les termes de même degré. Cauchy ramène ce problème à celui qui vient d'être traité, par l' artifice suivant. Considérons x, y, z^ h, /r, / comme ayant des valeurs déterminées et posons

t désignant une variable auxiliaire. La fonction f (/) ne dépend que d'une variable indépendante t\ si nous lui appliquons la formule

générale de Taylor, avec un reste, il vient

Il ft

ç(o), y'(o), ... ç<'*^(o) étant les valeurs de la fonction <p(/) et de ses dérivées pour < = o, et y^""*"*^(8^) étant la valeur de la dérivée (n -I- I )»«"»« pour la valeur 6^, 8 étant compris entre zéro et un. Or on peut considérer ç(/) comme une fonction composée de /, cp(/) =f(^Uj i^, w), les fonctions intermédiaires

étant des fonctions linéaires de t. Diaprés ce qu'on a remarqué antérieurement, l'expression de la différentielle d'ordre m, rf'"ç est la même que si u^ i^, w étaient des variables indépendantes; on a donc l'égalité symbolique

^ \du ôif ôw 1 \ou ov àw ]

qui peut encore s'écrire, en divisant par rf/"*,

Mo = (g..^{*^IO'"'

Pour t= o^ Uf i^yW se réduisent respectivement à x, y^ z^ et l'égalité précédente devient, en employant toujours la même notation symbolique,

On a de même

Xy y y Z, devant être remplacés, après le développement, par

resipectivement. En faisant maintenant t = i dans la formule (17), il vient

i,'i, , , n \0x oy oz I