I. — FORMULE BT SERIB DE TAYLOR. — GENERALITES

le terme complémentaire ayant pour expression

R^^ • (^h^^k^^^- iT^''

\ ri. . .{n-r- \)\0x ~^ ày àz j '

x, y y z devant être remplacés par j: H- OA, j^' + O/r, ,3 -h 8/ après le développement.

Celte formule (i8) est entièrement analogue à la formule générale (3). Si pour des valeurs données de x, y^ .s, /i, A", /, le reste R/i tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, on aura un développement en série àe f{x -i- h, y-h k^ s -f- /), tous les termes de cette série étant des polynômes homogènes en A, /r, /. Mais il est en général très difficile de reconnaître sur l'expression de R^ que ce reste tend vers zéro.

52. On peut tirer de la formule ( 1 8) des conséquences analogues à celles que l'on déduit de la formule (3) dans le cas d'une seule variable indépendante. Par exemple, soit z=/{x^y) l'équation d'une surface S ; si la fonction /(j?,^') est continue ainsi que toutes ses dérivées partielles jusqu'à un certain ordre dans le voisinage d'un point (^o>^o)> on a, d'après la formule (i8),

àf

\ fsJ

Si nous limitons le second membre à ses deux premiers termes, puis à ses trois premiers termes, etc., nous avons les équations d'un plan, puis d'un paraboloïde, etc., qui dilTèrent très peu de la surface considérée dans le voisinage du point (oto, J^o)» Le plan n'est autre que le plan tangent, le paraboloïde est celui qui se rapproche le plus de la surface S parmi tous ceux qui sont représentés par une équation de la forme

z = Kx^ -t- i^xy -h C^' -h xl^x -\- i^y -\- F.

On se sert aussi delà formule (i8) dans la recherche des valeurs limites des fonctions qui se présentent sous forme indéterminée. Soient /(x, j^), ç(x, y) deux fonctions qui s'annulent à la fois pour x^=^ a^ y =^b^ mais qui restent continues, ainsi que leurs dérivées partielles jusqu'à un certain ordre, dans le voisinage du point x = a, yz=ib\ proposons-nous de trouver la limite vers

IS^a CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

laquelle tend le quo lient

lorsque x et y tendeot respectivement vers a et b. Nous supposerons d'abord que les quatre dérivées du premier ordre — » ^>

T^> ^ ne sont pas nulles à ]a fois; nous pouvons écrire

s, e', e<, e'^ tendant vers zéro lorsque h et k tendent vers zéro. Lorsque le point (x^ y) tend vers (a, 6), A et Ar tendent vers

zéro; nous supposerons que le rapporter tend vers une limite a,

c'est-à-dire que le point ( j:, y) décrit une courbe ayant une tangente au point (a, fc). Divisons les deux termes du rapport précé-

dent par A, nous voj^ons que la fraction — — ^-^ a pour limite

âa àb

da âb

cette limite dépend en général de a, c'est-à-dire de la façon dont les variables x et y tendent respectivement vers leurs limites a et 0. Pour que cette limite fût indépendante de a, il faudrait que l'on eût

df ()o âf do âa àb àb àa '

ce qui n'a pas lieu en général.

Si les quatre dérivées - - , -y, -^> -f sont nulles, on prendra ^ àa ào àa àb ' ^ .

les termes du second ordre dans la formule (i8), et l'on écrira

/(a-^ k, b -h A) \ àa^ j \àa àb

tuia-^h. b -hk) fà^o \,. / à^o ,\ . . fà^o

àa'^ e, s', e'', £«, e', , e^ étant des quantités infiniment petites; a ajant