da?^ dy^^ -^ Jr»^Ofr-r»i

X et ^ devant être remplacés dans les dérivées du troisième ordre parXoH-6(jr — -^o) ^^ yo-i-^iy — yo) respectivement. On peut

toujours admettre que la dérivée -.— ^ n'est pas nulle, car il sufGt

de changer les axes de coordonnées pour être ramené à ce cas. En posant j^ — yo= '(^ — ^o)t dans l'équation (19), et divisant par

(x — ^o)^> î' vient

dxl àxQÔyQ dy-Q

P(x — Xq^ t) désignant une fonction qui reste finie lorsque x tend vers Xq, Cela posé, soient t^ et ^2 'es deux racines de Féquation

dxl àxQÔyçi dyl

si ces racines sont réelles, c'est-à-dire si l'on a

d^F y^ d'-F d^F .àxodyoJ -^ ôxl dyl'

on peut encore écrire l'équation (20)

àA

{t— tt){t'—ti) H-(jr — .ro)P =0.

Pour :r = Xq^ l'équation admet les deux racines distinctes t=(i^ t =z t^. Lorsque x tend vers x^^ l'équation admet deux racines tendant respectivement vers t^ et t^] on le montre en reprenant le raisonnement dont on s'est servi pour établir l'existence des fonctions implicites. Posons, par exemple, / r= /^ -f- u^ et écrivons l'équation entre x et u

u(ti — ti -i- u)-^(x— Xo)Çl(x, m) = o,

Q(a:, u) étant fini lorsque x tend vers Xq et ii vers zéro. Supposons, pour fixer les idées, tt — /o > o, et désignons par M une limite supérieure du module de Q(^, u) et par m une limite inférieure de tt — ^2 -t- «, lorsque^ varie de^o — /* à x^-j-h et ude — Aà + A, h étant un nombre positif inférieur à /| — /2- Soient maintenant e un nombre positif plus petit que A, et r^ un autre nombre positif satisfaisant aux deux inégalités

Si nous remplaçons x dans l'équation précédente par une valeur telle que \x — Xq\ soit inférieur à v), les résultats de la substitution de — s et de -f- £ à la place de u sont de signes différents; cette équation admet donc une racine tendant vers zéro lorsque x tend vers Xo, et par suite l'équation (19) admet pour racine une exprès-