II. — POINTS SINGULIERS. — HAXIHA ET HINIMA. l

surface le plus rapproché du plan des xy. On tire de la relation (29) àz X — a\ X — a%

dx /(-^__a,)^-H(7-6o» ■ v/(ar-a,)'-+-(7-^«)'

v/(a7— aa)*^-(7 — 63)»

dz r — ^1 y — bt

nous voyons que ces dérivées sont continues, sauf dans le voisinage des points A, B, G, où elles deviennent indéterminées. La surface S a donc trois points singuliers, qui se projettent aux trois sommets du triangle donné. Le minimum de z est donné par un point de la surface S où le plan tangent est parallèle au plan des xy, ou par un de ces points singuliers.

Pour résoudre les équations ^ = o, -r- = o, écrivons-les

^ ox oy

y — ai , y — àf y — bz

^{x — ai)«-h(7 - 60* ^{x - a^)^-^{y - 6,)» )/{x - «j^ h- (7 - ^3)* '

si on les ajoute, après les avoir élevées au carré, il vient

, ^ {3P — a\){x — a^) -^r {y — bx)( y — ht) ^

L'interprétation géométrique de cette condition est bien facile : si nous appelons a, ^ les cosinus des angles que fait la direction PA avec Ox et Oy, et de même t! et ^' les cosinus des angles que fait la direction PB avec les axes, on peut l'écrire

i-h2(aa'-h??') = o ou, en appelant (o Pangle APB,

2 COS(i> -h I = o.

L'équation précédente exprime donc que du point P on voit le segment AB sous un angle de rio°. Pour la même raison, chacun des angles BPG et CPA doit être de 120". Il est clair que le point P (*) doit être à Tintérieur du triangle ABC, et qu'il ne peut exister un point jouissant de cette propriété que si aucun des angles du triangle ABC n'est égal ou supérieur à 120".

(') Le lecteur est prié de faire la figure.

l46 CHAPITRE III. — FORMULE DE TATLOR, ETC.

Lorsqu'il en est ainsi, le point P est unique et s'obtient par l'intersection de deux arcs de cercle faciles à tracer. Dans ce cas, le minimum est fourni par le point P ou par l'un des sommets du triangle; mais il est facile de vérifier que la somme PA -t- PB -h PC est plus petite que la somme de deux des côtés du triangle. Les angles APB et APC étant de 120°, les deux triangles PAG, PBA nous donnent en effet

AB = /a»-f- b^-habf \C == ^a^-^ c*-h ac,

en posant PA = a, PB = b, PC = c; or on a

v/a* -+- 6' + aô > 6 H — , /a*-h c*H- ac^ c-\ — y

'JL 2

comme on le vérifie immédiatement en élevant au carré, et par suite

AB H- AC > a -+- 6 -f- c.

C'est donc le point P qui donne le minimum.

Lorsque le triangle ABC a un angle supérieur ou égal à 120% il n'existe pas de point P d'où l'on voie les trois côtés du triangle ABC sous un angle de 120'', et la surface S n'admet pas de plan tangent parallèle au plan des xy. Le minimum est alors fourni par l'un des sommets du triangle, et il est évident que c'est par le sommet de l'angle obtus. C'est ce qu'il est aisé de vérifier géométriquement.

63. Théorème de d'Alembert. — Soit F(2r,^) un polynôme à deux variables x^ y, ordonné par groupes homogènes de degré croissant,

H étant constant. Si l'équation «pp(ar, 7) = o, considérée comme une

équation en —y admet une racine simple, il est impossible que la fonc-

tion F(a?, 7) soit maximum ou minimum pour x =y =0. Il résulte en

effet de la discussion qui a été faite plus haut que l'on pourra trouver sur

la surface zH-H = F(a?, 7) des sections planes situées dans des plans

passant par l'axe 0^, dont les unes seront situées au-dessus du plan

des xy, les autres au-dessous de ce plan, dans le voisinage de l'origine.

On peut déduire de cette remarque une démonstration du théorème de

d'Alembert. Soit /(z) un polynôme entier, de degré m à coefficients ifùel-

conques,

/{z) = AqH- A.iz -h AJ^*-^. . .-j-Am-s'"»

ou, en mettant en évidence lès parties réelles et les parties imaginaires, f(x H- iy) = ao-f- ibo -^ (a, -f- ibi){x -+- 17) -h . . . -h (am-^ ibm){^ -♦- *»"* do, 60, ai, 61, . . ., Um, bm étant réels. On peut encore l'écrire

II, — POINTS SINGULIERS. — MAXIM A ET MiNlMA. l47

en posant

Q = ^0 -+- ^1 ^ -T- cL\y -+..., et Ton a ^

|/(z)| = /PM:"Q^.

Nous allons d'abord montrer que \f{z)\ ou, ce qui revient au même, pi l Qî ne peut être minimum pour a?=^ = o, à moins que l'on n'ait ao=6o = o. On peut écrire en effet, en employant les coordonnées polaires p et <p, et en supposant, pour plus de généralité, que le premier coefficient qui n'est pas nul à partir de Ao est le coefficient Â^,

P = a©-*- (apCOs/?<p — 6pSin/?<p)p/'-t-. . ., Q = 6o-f- {bp cos/>«p-f-apsin/?ç)pA'-h. .., pi -+- Qi = a J -h 6 J -h a p/» [(«0 «/> -H ^0 6p) cosjD ç> -f- (60 ap — «0 ^p) sinjD «p] -h . . . ,

les termes non écrits étant de degré supérieur ^ p par rapport à p. Or l'équation

(«o^/ti-H bobp)cosp^ ■+■ (boUp — a^bp) sin^pcp =0

donne tang/70 = K, ce qui détermine p droites distinctes, faisant entre

elles des angles égaux à — «Il est donc impossible, d'après la remarque

P faite plus haut, que P*-f- Q* soit minimum pour x =y = o, à moins que

l'on n'ait à la fois

aoUp-i- bQbp^=^Oj boap — aobp=Oy

et, comme aJ-H 6| n'est pas nul, il faudra que l'on ait ao— 60 = 0, c'està-dire que la partie réelle et la partie imaginaire de/(^) soient nulles séparément.

Si 1/(^)1 est mini mum pour a: = a, ^ = p, on ramène ce cas au précédent en posant 2 = a -♦- t'p -h z', et l'on en conclut que 1/(^)1 ne peut être minimi4m sans que P et Q soient nuls séparément pour x = et, y = ^.

Le module de /(z) doit passer par un minimum pour une valeur au moins de z, car ce module augmente indéfiniment lorsque le module de z augmente indéfiniment. On a, en effet, en posant x = p coso, y = p sin(p,

P«H-Q«=(aJ,+ 6î,)p«'«-t-...,

les termes non écrits étant de degré inférieur à 2m en p, ce qu'on peut écrire

/pripQî = p'n(v/a^-t-6J,-h e),

e tendant vers zéro lorsque p croit indéfiniment. On peut donc décrire un

cercle de rayon R assez grand pour que la valeur de /P*-i- Q* soit supérieure en tous les points de ce cercle à la valeur de cette même fonction

l48 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

pour Torigine, par exemple; il s'ensuit qu'il y aura au moins un point

ar = a, 7 = |i,

à l'intérieur de ce cercle, pour lequel /P*-i- Q* sera minimum. D'après ce que nous venons de démontrer, le point x = a, y = ^ est un point d'intersection des deux, courbes P=o, Q = o; ce qui revient à dire que ^ = a -H P t est racine de l'équation f{z) = o.

Dans cet exemple, comme dans le précédent, nous admettons qu'une fonction de deux variables (a:, y), continue à l'intérieur d'une aire fermée, atteint effectivement une valeur minimum à l'intérieur ou sur le contour de cette aire. C'est une propriété que l'on admet sans peine, mais que l'on démontre d'ailleurs en toute rigueur {voir plus loin, Chapitre VI).

1. Le nombre 0 qui fîgure dans la forme du reste de Lagrange a pour limite lorsque h tend vers zéro, pourvu q\icJ^^-^^Ha) ne soit pas nul.

2. Soit F{x) un déterminant d'ordre n dont tous les éléments sont des fonctions de x\ la dérivée F'(x) est la somme de n déterminants qui s'obtiennent en remplaçant successivement tous les éléments d'une ligne par leurs dérivées.

Que devient cet énoncé pour les dérivées d'ordre supérieur?

3. Trouver les valeurs maxima et minîma de la distance d'un point à une courbe plane ou gauche, de deux points de deux courbes, de deux points de deux surfaces.

4. Les points d'une surface S, pour lesquels la somme des carrés des distances à n points fixes est maximum ou minimum, sont les pieds des normales abaissées sur cette surface du centre des moyennes distances des n points fixes donnés.

3. De tous les quadrilatères que l'on peut former avec quatre côtés donnés, celui qui a la plus grande surface est inscriptible dans une circonférence.

Extension aux polygones de n côtés.

6. Maximum du volume d'un parallélépipède rectangle inscrit dans un ellipsoïde.

7. Trouver les axes d'une quadrique à centre en considérant les sommets comme les points dont la distance au centre est maximum ou minimum.

8. Même problème pour les axes de la section centrale d'un ellipsoïde.

9. Trouver Tellipse d'aire minimum passant par les trois sommets d'un triangle, et l'ellipsoïde de volume minimum passant par les quatre sommets d'un tétraèdre.

10. Trouver le point dont la somme des distances à deux droites données

et à un point donné est minimum.

[Joseph Bertrand.]