I. — KÉTHODES DIVERSES DB QUADRATURE. l5l

du triangle ABC. Menons la tangente ET qui coupe CD au point T, le diamètre EF qui coupe CB en F, et enfin les parallèles EK, FH à la corde A.B. D'après une propriété élémentaire de la parabole, on a TC = CK; d'ailleurs CT = EF = KH et,

par suîle, EF = — = — t-« Les aires des deux triangles BCE,

BDC, ayant la base commune BC, sont entre elles comme les hauteurs, ou comme les droites EF, CD. L'aire du triangle BCE est donc égale au quart de l'aire du triangle BCD, ou au huitième de l'aire S du triangle ABC; l'aire du triangle ACE' a évidemment la même valeur. En opérant de la même façon sur chacune des cordes BE, CE, CE', E'A, on obtient quatre nouveaux triangles dont l'aire est égale à r^» et ainsi de suite. La

^ïème opération conduira à 2" triangles, l'aire de chacun d'eux

S étant égale à ^* L'aire du segment de parabole est évidemment

égale à la limite vers laquelle tend la somme des aires de tous ces triangles, lorsque n augmente indéfiniment, c'est-à-dire à la somme de la progression géométrique décroissante

qui a pour valeur ^. On voit donc que l'aire cherchée est égale

aux ^ de Vaire du parallélogramme construit sur AB et (ÎD.

Tout en admirant l'ingéniosité de cette méthode, on ne peut s'empêcher de remarquer que le succès tient uniquement aux propriétés particulières de la parabole, et que le procédé n'arien de général. Les autres exemples de quadrature dus aux anciens, que nous pourrions citer, ne feraient que confirmer cette remarque; chaque courbe nouvelle exigeait un nouvel artifice. Mais, quel que fût l'artifice employé, on décomposait toujours l'aire à évaluer en éléments dont le nombre augmentait indéfiniment, et il fallait chercher la limite de la somme de ces aires partielles. Laissant de côté les procédés particuliers (*),

(*) On trouyera, dans le Traité de Duhamel, un grand nombre d'exemples de déterminations d'aires, d'arcs et de volumes, par les procédés des anciens.

nous allons indiquer tout de suite la méthode générale de décomposition qui nous conduira tout naturellement au calcul intégral.

65. Méthode générale. — Soit, pour fixer les idées, à évaluer l'aire S comprise entre un arc de courbe AMB, un axe xx' qui ne rencontre pas cet arc, et les deux perpendiculaires AAo et BB© abaissées des points A et B sur xx^ \ nous supposerons de plus

ï^ig- y-

Pa

Bo

qu'une parallèle à ces droites AA©, BBq, ne peut rencontrer Tare AMB en plus d'un point, comme l'indique \zjig, g.

Décomposons le segment AqBo en un certain nombre de parties, égales ou inégales, par des points de division P|, P2, •••, P/i-ij et par ces points de division menons des parallèles P|Qi, P2Q2Î • • •, P/i iQ«-! à la droite AA©, qui rencontrent l'arc AB aux points Q^, Q2, . . ., Q/i i respectivement.

Puis par A menons une parallèle à xx^ qui coupe P^Qi au point 9,, par Q, une parallèle à xx^ qui coupe P2Q2 au point q%^ et ainsi de suite. Nous obtenons ainsi une suite de rectangles R4, R2, . . ., R|, . . . , R/i; chacun d'eux peut être tout entier à l'intérieur du contour AB Bq Aq, mais il peut aussi, comme l'indique la figure, avoir une partiel à l'extérieur de ce contour.

Nous désignerons par a/ Taire du rectangle R/, et par P/ l'aire limitée par le contour Pi.i P/Q/Qz-i. Observons d'abord que

chacun des rapports £l, ^, . . ., Ê^, . . ., tend vers l'unité lorsque

le nombre des points de division augmente indéfiniment, de façon que toutes les dislances AoPi, P4P2> •••? Pi-i Pi, •••, tendent

vers zéro. En effet, le rapport — > par exemple, est évidemment