II. — INTÉGBALES DéPINlES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES

positwes décroissantes, et Uo,Uu • • m ^p ^^ même nombre de quantités positives ou négatives quelconques. Si toutes les sommes Sq= Uq» ii = I/o H- Uf, . . ., 5p= Mo-f- Mi-h. . .-4- Mp sont comprises entre deux nombres A et B, la somme

S = Eo «0 -*- 61 Ml -4- . . . H- C;, î/p

sera comprise entre Asq ^t Beq.

On peut écrire, en eiïct,

Uq = SQf Ui = Si — 5o} • • • » ^p ^^ *P"~" *p— 1 î

la somme S est donc égale à

5o(6o— ei)-H5i(e, — e,) -h , . .-\- Sp-iitp-i — tp) -hSptp,

Toutes les différences Iq — ei, ti — et, ..., e^-i— e^ élant positives, on aura deux limites pour S en remplaçant 5o, 5;, . . •, ^p parleur limite supérieure Â, puis par leur limite inférieure B. On trouve ainsi

S < A(eo— El -4- Êj— Ej-h.. .-f- Ep i Ep-h Ep) = AEo,

et Ton voit de même que Ton a S > Bsq.

Cela posé, soient /(x) et ^(x) deux fonctions continues, la fonction ^(x) étant positive et décroissante lorsque x croit de a jusqu'à b.

L'intégrale / f{x) <p (x) dx est la limite de la somme

/(a) <p (a)(3r, — a) -¥-f(xi) <p (ar,)(Tî — a-j) -+-. . .;

les nombres ^(a), 7(^1), .••, étant positifs et décroissants, cette somme est, d'après le lemme précédent, comprise entre Aç(a) et B<p(a), A et B étant la plus grande et la plus petite des sommes

/(a)(ari- a),

/(a)(Xi — a) -f./(ar,)(a',— x,),

/(a)(ar, — a)-+-/(ari)(a?2— jr,)-h...-H/(ar„,)(6— x„«,).

En passant à la limite, on voit que l'intégrale considérée est comprise entre Ai<p(a) et Bicp(a), Ai et Bi désignant le maximum et le minimum de rintégrale

I /(x)dx,

lorsque c varie de a à 6. Comme cette intégrale est évidemment une fonction continue de sa limite supérieure c, on peut écrire

(5) f /(^)^i^)dx=<f(a) f f{x)dx {a<^<b).

172 CHAPITBE IV. — INTEGRALES DÉFINIES.

Lorsque la fonction o(x) est décroissante, sans rester positive, entre a et bf on peut appliquer une formule plus générale due à Weierstrass. Posons en effet «p(j?) = ^{b)'{-^{x); la fonction ^{x) est positive et décroissante, et Ton peut lui appliquer la formule (5)

f A^)^(^)dx = [<^{a)--^{b)] f f(x)dx.

On en tire

f fi,x)^{x)dx= f f{x)^{b)dx-^{^{a)-o(b)] f f{x)dx,

r /{^) ^{x)dx = ^{a) f /{x) dx -+■ cp(6) f f{x) dx.

On a des formules analogues lorsque la fonction ^(:7)est croissante.

76. Retour sur les fonctions primitives. — Nous pouvons maintenant donner une démonstration purement analytique du théorème fondamental. Soit /(a:) une fonction continue; l'intégrale définie

où Ton regarde la limite a comme fixe, est une fonction de la limite supérieure x. Nous allons démontrer qu'elle admet pour dérivée f{x). Nous avons en effet

F(ar-f-A) — F(a:)= Ç f{t)dt,

OU, en appliquant la formule de la moyenne (4),

F(x + h)-F(x) = hfa),

Ç étant compris entre x et x -i- h. Lorsque h tend vers zéro, /(S) a pour* limite /{x); la fonction F{x) a donc pour dérivée /(:r). Toute autre fonction admettant la môme dérivée s'oblient en ajoutant à F(x) une constante arbitraire C. Il existe une de ces fonctions, et une seule, prenant une valeur donnée à Tavance^o pour x = a', c'est la fonction

r/{t)dt.