II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté à craindre, on met la même lettre x pour désigner la limite supérieure et la variable d'intégration, et Ton écrit / f{x)dx au lieu de / f{t)dt^ mais il

est bien évident qu'une intégrale définie ne dépend que des limites et de la fonction sous le signe d'intégration; la lettre qui désigne la variable d'intégration est absolument indifférente.

Toute fonction ajant pour dérivée fi^x) est une intégrale indéfinie àt f{x) et se représente par le symbole

f{x)dx,

où Ton n'indique pas les limites. D'après ce qu'on vient de voir, on a

Çf{x)dx= Ç f{x)dx-^C,

Inversement, si l'on a obtenu par un moyen quelconque une fonction F(^) admettant pour dérivée /(:r), on peut écrire

Ç f(x)dx = F{x)-+-C;

pour déterminer la constante C, il suffit d'observer que le premier membre est nul pour x = a. On doit donc prendre C === — F(«)> et l'on a la formule fondamentale

(6) f /(x)dx=:F{x)-F{a),

Remplaçons dans cette formule /(^) par F'(^); il vient

F(x)-F(a)= f F\x)dx,

ou, en appliquant le théorème de la moyenne,

5 étant compris entre a et x. Nous retrouvons le théorème des accroissements finis, mais la démonstration est moins générale que la première (n" 8), car elle suppose la continuité de la dérivée F'(a;).

174 CHAPITRB IV. ~ INTÉGRALES DEFINIES.

Nous passerons en revue, dans le Chapitre suivant, les catégories les plus simples de fonctions dont on sait trouver une fonction primitive; nous indiquerons ici seulement quelques-unes de celles qui s^offrent immédiatement :

/ cosa? dx = sinar 4- G, / sina? dx = ~ cosar -+- G,

e»»'dx=: hG (m^o\

/dx /* dx r = arc tanga? -+- G, / . = arc sina? -+- G,

La formule fondamentale (6) a été établie en supposant la fonction/(x) continue entre a et b. Si Ton nV pas égard à cette condition, on peut être conduit à des conclusions paradoxales.

Ainsi, en prenant /(a:) =: — > la formule (6) donne

le premier membre n'a de sens jusqu'ici que si a et 6 sont de même signe, tandis que le second membre a une valeur déterminée, alors même que a et 6 sont de signes difTéreuts. Nous verrons plus tard Texplication de ce paradoxe, en étudiant les intégrales définies prises entre des limites imaginaires. La formule (6) donne de même

r^/'{x)dx , \f(b)l

si /(a) et /(b) sont de signes contraires, /{x) s'annule entre a et 6, et les deux membres de l'égalité précédente n'ont jusqu'ici aucun sens pour nous. On verra de même plus tard la signification qu'il convient de lui attribuer.