II. — INTEGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GEOMETRIQUES. lyS
La formule (6) peut aussi présenter quelque ambiguïté : ainsi, en prenant/(a;) = -y elle donne
1 ~T" Su
* dx
r = arc tang^ -- arc tanga.
Le premier membre a un sens bien déterminé, tandis que le second membre présente une infinité de déterminations. Pour lever Tambiguïté, posons
17/ N r' dx
cette fonction F(:r) est continue dans tout intervalle et s^annule avec X. Désignons, d^autre part, par arc tang^r l'arc compris
entre et H — • Ces deux fonctions ont même dérivée et s'an-
nulent pour x=^o\ elles sont donc égales, el l'on peut écrire
/•* dx r^ dx r" dx .
I z = I 7 — 1 = arc tang6 — arc taosa,
en prenant toujours pour arc tang la valeur comprise entre
On établit de même la formule
dx
= arc sin6 — arc siaai
où le radical est pris en valeur absolue, où a et 6 sont compris entre — i et +1, et où l'on désigne par arcsin^ l'arc compris
entre et H — •
77. Indices. — D'une manière générale, lorsque la fonction primitive F(âr) admet plusieurs déterminations, on choisira une des valeurs initiales F (a) et Ton suivra la variation continue de cette détermination lorsque x varie dans le même sens de a à 6. Prenons, par exemple, Tintégrale
/-^P'Q-PQ' r* /'(x)
oà
P et Q étant deux fonctions continues dans Fintervalle (a, b)y ne s'annulant pas en même temps. Une fonction primitive est arc tang^(2r). Si Q ne s'annule pas entre a et b, f{x) ne devient pas infini, et arc tang/(iF)
reste compris entre et -; mais il n'en est plus de même, en général,
si réquation Q = o a des racines dans cet intervalle. Pour voir comment on doit modifîer la formule, réservons toujours la notation arctang à
l'arc compris entre et -+- ^j et supposons d'abord que Q s'annule
une seule fois entre a et 6, ])our une valeur x =: c. Nous pouvons écrire
r' f(x)dx ^ r'-'-^ r^^''^ r'
e et s' étant deux nombres positifs très petits; /{x) ne devenant pas infini entre a et c — s, ni entre c -h e' et 6, on a encore
Jr* f'dx f ^ — -^ = arc tang/(c — e) — arc tang/(a)
-h arc tang/(6) — arc tan g/(c -h e') -f- /
Il peut se présenter plusieurs cas. Supposons, pour fixer les idées, que /(a?) devienne infini en passant de -+-oc à — oc; y(c — e) sera positif
et très grand, arc tangy(c — e) sera très voisin de ~n /(c-ht') sera négatif et très grand, arc tang/(c 4- e') sera très voisin de — ; quant à
f t sa valeur absolue est très petite. Passons à la limite;
il vient
'* f'(x)dx I x-^ftix) = ^-^a»'ctang/(6) — arctang/(a);
on verrait de même qu'il faudrait retrancher tz, si f{x) passait de — oc à H- 00. Dans le cas général, on partagera l'intervalle (a, b) en intervalles partiels assez petits pour que, dans chacun d'eux, f{x) ne devienne infini qu'une seule fois : en raisonnant sur chacun de ces intervalles comme on vient de le faire, et ajoutant les résultats obtenus, il vient
/* fi r)dx ;V/î(37) "= ^'*^ tang/(6) - arc tang/(a) -4- (K - K')ir,
K désignant le nombre de fois que /(a:) devient infini en passant de -+- » à — 00, K' le nombre de fois que /(a?) passe de — 00 à -+-00. Ce nombre K — K' est appelé V indice de la fonction f{x) entre a et b.
