IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

Supposons que, pour la surface considérée, p et q ne soient pas fonctions l’une de l’autre, de telle sorte qu’on ne puisse avoir une identité de la forme À dp + u dqg —0 sans qu’on ait, à la fois, À = pu — 0. On déduit alors de la relation qui précède

EX, DT Pour avoir R, S, T, nous partirons de même des relations

dP=RaX+S dY, AO S ART EUR de.

qui deviennent ici, en remplaçant X, Y, P, Q par leurs valeurs,

dx = R(r dr +sdy)+S(s dx +t dy), dy = S(rdx+sdy)+T(sdx +tdy);

on entire Rr+Ss—=1, RS USE 0 Siné 0; Dal t=1, et, par suite, t —$ 7 R — SE T — .

rt— 5? rt — 5°? rl — 5?

Des formules précédentes on déduit inversement

btp; Me 0, z=PX+OQY—7Z, DA, D a — S R D Dhs RTE} ce qui prouve que la transformation est réciproque. D'ailleurs, c’est bien une transformation de contact, puisque X, Y, Z, P, Q ne dépendent que de x, y, z, p, qg. Ces propriétés deviennent intuitives, si l’on observe que les formules définissent une transformation par polaires réciproques, relativement au paraboloïde

+ Yi— 23 = 0.

. Remarque. — Les expressions de R, S, T deviennent infinies lorsque, en tous les points de la surface décrite par le point mi, on a la relation ré — s? — 0. Dans ce cas, le point M décrit une courbe, et non une surface, car on a

DR DIT a) 0e D(x,y) D(x, y)

et de même

——————© = —————""" "©" — rl—s?) = 0.

D(x, y) D(x, y) Ur de de

SJ s L-

C’est précisément le cas qu’on a laissé de côté.

67. Transformation d'Ampère. — Les notations restant les mêmes que. dans l’exemple précédent, posons LÉ +72 CAPE STAR

X=7, 0 V7, 7 47e la relation : :