IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 15I
constant et faisant varier w, puis en laissant w constant et faisant varier p (!). | Ayant obtenu pet q, p = fi(u, ), q — f,(u, v), on obtiendra
r,s, t'au moyen des égalités
dp=rdx+sdy, dg =sdx +tdy,
dont chacune fournit deux relations distinctes, et ainsi de suite.
65. Problème IV. — St l’on pose (65) æ=f(u,v,w), - J—=v(u, pv, w), 3.— Y(u, », w),
ces formules font correspondre à toute relation entre les variables x, y, 3 une nouvelle relation entre u, v, #. On se propose d'exprimer les dérivées partielles de z par rapport aux variables x, y, au moyen de u, v, w, et des dérivées partielles de « par rapport aux variables u et v.
Ce problème se ramène à celui qui vient d'être traité. Si l’on suppose en effet que # ait été remplacé dans les formules (65) par une fonction de wet de w, on a les expressions de æ, y, 3 au moyen des deux paramètres w ete, et il suffit de reprendre la méthode précédente en considérant f, ©, 9 comme des fonctions composées de u, #, la variable w étant traitée comme une fonction intermédiaire de &w et . On a, par exemple, pour calculer les dérivées du premier ordre p, q, les deux relations
oÙ 0% dæ Of CAE dv dp 0 5 Soorin (Li) (es) dodo fof . dfr 0m 0 do 0w ME ED) 9 (+ 5 w)
et de même pour les dérivées suivantes.
(3) On peut aussi arriver à l'équation du plan tangent par un raisonnement direct. Toute courbe située sur la surface est définie par une relation entre u et ?, soit p — (uw), et la tangente à cette courbe à pour équations
X — x & Y— 7 LÉ Z — 3 NN TRUE TT i QU tel re, DC)
L'élimination de IH'(uw) conduit à l'équation du plan tangent (64).
152 CHAPITRE JL. |
En langage géométrique, le problème précédent peut s’énoncer comme 1] suit : À tout point » de l’espace, de coordonnées (x, y, 5), on fait correspondre, par une construction déterminée, un autre point M, de coordonnées X, Y, Z. Lorsque le point » décrit une surface S, le point M décrit une surface Ÿ, dont on se propose de déduire les propriétés de celles de la première.
Les formules qui définissent la transformation sont de la forme
X = f(x, y, 3), Y=yp(z,7, 2), Z=0ERS soient AL Fe, 77, Z= D(X, Y)
les équations des deux surfaces S, 3. Il s’agit d'exprimer les dérivées: partielles, PO, RES M MEN OR P(X, Y) au moyen de x, y, 3 et des dérivées partielles p, (y JS SSL EEREREEES fonction F(x, y). C’est précisément, à la différence des notations près, le problème que nous venons de.traiter.
Les dérivées premières P et Q ne dépendent que de æ, y, 3, P; g, de sorte que la transformation change deux surfaces tangentes en deux surfaces langentes. Mais ce ne sont pas les transformations les plus générales qui jouissent de cette propriété, comme on le verra par les exemples ci-dessous.
66. Transformation de Legendre. — Soit z — f(x, y) l’équauon d’une surface S ; au point (æ, y, 3) de cette surface, faisons correspondre le point M, de coordonnées X, Y, 2, en posant
MD, PTE L=pr+qy — 3,
et soit Z—®D(X, Y) l'équation de la surface X décrite par le of of 0 ? 0y” on a les expressions des trois coordonnées du point M en fonction
point M. Si l’on imagine qu’on ait remplacé z, p, q par f,
des deux variables indépendantes x (0 Désignons encore par P, Q,R, S, T les dérivées partielles de la fonction Œ(X, Y); la relation
az = P dX + O dY nous donne
ou
æ dp + y dg = P dp + Q dg.
SL E Ne
ne
