IV. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

@ et Ÿ étant des fonctions arbitraires de Y. On en déduit P=g(Y),, Q=Xe(Y)+YCY),

et les coordonnées (+, y, 3) d’un point de la surface S s'expriment inversement en fonction dés deux variables X, Y, par les formules

MX, y=X9S(Y)+Y(Y), 3 = Y[X v'(Y)+ Y'(Y)]— X EC Y) — YY);

l'équation de cette surface s’obtiendra en éliminant X et Y ou, ce qui revient au même, en éliminant le paramètre variable x entre les deux équations 3=ay — x p(x)—4 (x), ! !

DE A RC

dont la première représente un plan mobile dépendant du paramètre a, tandis que la seconde s’obtient en différentiant la première par rapport à ce paramètre. On obtient ainsi les surfaces développables, qui seront étudiées plus tard.

68. Équation du potentiel en coordonnées curvilignes.— Les calculs qu'exige un changement de variables peuvent, dans bien des cas, être simplifiés par différents artifices. Je prendrai pour exemple l'équation du potentiel en coordonnées curvilignes orthogonales (1). Soient

F (T, y; z) = p, Fes) = p1, F:(%,Y, 3) = Pa

les équations de trois familles de surfaces formant un système triple orthogonal, deux surfaces quelconques appartenant à deux familles différentes se coupant toujours à angle droit: si l'on résout ces trois équations, on en tire æ, y, z en fonction des paramètres p, P1, 0»,

| æ—% (9, pi, Pa); (66) RÉ PI: Oo);

æ — Da(0, 01; Pa);

P, 1, 09, forment un système de coordonnées curvilignes orthogonales.

Puisque les trois surfaces précédentes sont orthogonales, les tangentes aux courbes d'intersection de ces surfaces prises deux à deux doivent former un trièdre trirectangle ; il faut donc qu’on ait

09 09 is dv do

MOT opropn (67) dp d01 0, do! d09 RER

(1) Lamé, Traité des coordonnées curvilignes. Voir aussi BERTRAND, Zraité de Calcul différentiel, t. I, p. 181.

ne GR LA CE du SD 17e

le signe ù

Ces conditions d’orthogonalité peuvent encore s’écrire sous la forme qi

indiquant qu’on doit remplacer ® par &1, puis par», et ajouter.

valente E do do: d0 dp: d9 dpi Es sf 0x 0x dy dy dz 0 à (68) RES | DP003 4, EN À 00001 082 0x 0x “ dx 0x "40

Ne M 02 Vi 4 LU re 09e TDR avec les variables p, p1, 92; on a d’abord OV __ OV do OV de: oV de, 0œ dp 0x 091 0x 00» 0x” puis NV. ENV (ON SEC, (+ OV /odp2\?

Or? — de? \ ox METTE 0x d9? \ 0 o2V de dp1 o?V dpi dp2 V 09 009 ? do dpi 001 0x 0x © px 0» 0æ 0x ? de 022 0x 0x | OV dp OV 0° dp1 OV 029, dp 0x? do1 dx? 92 0x? | En ajoutant les trois équations analogues, les dérivées du second ordre 2V telles que Ur disparaissent dans la somme, en vertu des relations (68), el 1 et il reste | F OV 02V o1Y o2V 02V :. 2200 (69) Res MO 7 +) ? «1 Fa COR = + (es) D a (ps)

A et A, désignant les paramètres différentiels de Lamé

AP= (GE) + (He CD

Les paramètres différentiels du premier ordre Ai(p), A CP}

calculent facilement. Des relations (66) on tire

do 0x ODA mr Op 0x 291 9, pr dpr | Op Op 00, 0%: dpi dx 092 0x Jp dp dPa Op1 pa da de 0x pi dœ dps. 08: à