Même question pour l'équation
nn oo ie 0 0x? Arr M Lo OV Are quand on fait le changement de variables + = uv, y = ne
13. Soient X = f(x, 7,2), Y=vw(x, y,z), Z = V(x, y, 2) les équations qui définissent une transformation ponctuelle dans l’espace. À toute direction à issue d’un point m(x, y, :) correspond une direction A issue du point M. A trois directions de paramètres directeurs (@1, bi, ci). (Go, Ds, Co), (as, ds, C3) issues de m correspondent trois directions issues de M, de paramètres (A, B1, C1), (A2, B2, Go), (A3, B3, G3) respectivement. Démontrer que le déterminant formé par ces neuf coefficients A;, B;, G; est égal au produit du déterminant formé de la même façon avec les neuf coef- IREARZS Dim 2) trièdres ont la même disposition ou une disposition inverse, suivant le signe du jacobien. (Les deux systèmes d'axes de coordonnées sont supposés de même disposition.)
ficients (a;, b;, c;) par le jacobien - En déduire que les deux
14. Si les fonctions f, ®, Ÿ de l'exercice précédent sont nulles pour æ=Y—=2z—=0, montrer quil existe en général trois directions rectangulaires issues de l’origine, et trois seulement, auxquelles correspondent trois autres directions rectangulaires issues de l’origine.
Mêmes problèmes pour les transformations ponctuelles dans le plan.
15. En chaque point M d’une surface S, on mène la normale MN dont on prend le point de rencontre N avec un plan fixe P, puis on porte sur la perpendiculaire au plan menée par ce point N une longueur Nm — NM. Trouver le plan tangent à la surface décrite par le point m.
La transformation précédente est une transformation de contact. Étudier la transformation inverse.
16. À partir des différents points d'une surface donnée $, on porte, sur les normales à cette surface, une longueur constante /: chercher le plan tangent à la surface EX, lieu des points ainsi obtenus (surfaces parallèles).
Même problème pour une courbe plane.
17. *Étant donnés une surface S et un point fixe O, on joint le point O à un point quelconque M de la surface S; par le rayon OM et la normale MN à la surface S au point M on fait passer un plan OMN. Dans ce plan OMN on élève, par le point O, une perpendiculaire au rayon OM sur laquelle on porte une longueur OP = OM. Le point P décrit une surface > qui est dite l’apsidale de la première. Trouver le plan tangent à cette surface. La transformation précédente est une transformation de contact, et il
rl: II
y a réciprocité entre les surfaces $ et 2. Lorsqu'on prend pour la surface SA un ellipsoïde, le point O étant au centre, la surface Z est la surface des
: l | ondes.
18. *Invariants différentiels d'Halphen. — L'équation différentielle
de?) dr D. AL ET* ATP
” A? 2 A5 2 3 4 39 \3 (Er) DY TP + fo (NE
ne change pas de forme quand on effectue sur les variables x,y une transformation homographique quelconque. |
