I. — MÉTHODES DIVERSES DE QUADRATURE

69. Quadrature de la parabole. — [La détermination de l'aire d’une courbe plane est un des problèmes qui ont le plus exercé la sagacité des géomètres. Parmi les exemples que nous ont laissés les anciens, un des plus célèbres est la quadrature de la parabole par Archimède; nous indiquerons une de ses méthodes.

Soit à déterminer l’aire comprise entre l’arc de parabole ACB et

la corde AB. Menons le diamètre CD joignant le milieu D de AB au point C où la tangente est parallèle à AB, les cordes AC et BC, et prenons les points E et E/ où la tangente est parallèle respectivement aux deux cordes BC et AC. Nous allons d’abord comparer

l’aire du triangle BEC, par exemple, à celle du triangle ABC. Menons la tangente ET qui coupe CD au point T, le diamètre ER qui coupe CB en F, et enfin les parallèles EK, FH à la corde AB. D'après une propriété élémentaire de la parabole, on a TC = CK ;

d’ailleurs CT — EF = KI et, par suite, EF — ce — Les aires

des deux triangles BCE, BDC, ayant la base commune BG, sont entre elles comme les hauteurs, ou comme les droites EF, CD. L'aire du triangle BCE est donc égale au quart de l'aire du triangle BCD, ou au huitième de l’aire S du triangle ABC; Paire du triangle ACE/ a évidemment la même valeur. En opérant de la même facon sur chacune des cordes BE, CE, CE, E’A, on obuent

quatre nouveaux triangles dont l'aire est égale à =, et ainsi de

suite. La nine opération conduira à 2” triangles, l’aire de chacun

d'eux étant ég - L’aire du segment de parabole est évidem-

ment égale à la imite vers laquelle tend la somme des aires de tous ces triangles, lorsque n augmente indéfiniment, c ’est-à= -dire à la somme de la progression géométrique décroissante

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4S qui a pe valeur = É. . On voit donc que l’aire cherchée est égale

aux = = de l'aire du parallélogramme construit sur AB et CD.

La nt précédente est une méthode d’exhaustion; l'aire que l’on veut calculer est exprimée par la somme d’une série convergente. Archimède a employé aussi, pour le même problème, une autre méthode, beaucoup plus voisine des méthodes modernes, où l’aire du segment parabolique est décomposée en un nombre indéfiniment croissant de parties infiniment petites. Jusqu’à l’invention du Calcul intégral, les géomètres se sont servis de procédés plus ou moins analogues à ceux d’Archimède pour le calcul des aires, des arcs et des volumes (!). Quelle que soit l’ingémiosité de ces procédés, ils offrent surtout aujourd’hui un intérêt historique, Aussi nous allons indiquer tout de suite la méthode générale de

(1) On trouvera, dans le Traité de Duhamel, un grand nombre d'exemples de déterminations d’aires, d’arcs et de volumes, par les procédés des anciens.