I. — MÉTHODES DIVERSES DE QUADRATURE
décomposition qui nous conduira tout naturellement au Calcul intégral.
70. Méthode générale. — Soit y — f(x) une fonction continue, positive et croissante dans un intervalle (a, b); à cette fonction correspond un arc de courbe AMB situé au-dessus de O x. Proposons-nous de calculer l’aire comprise entre l’arc AMB, les deux ordonnées AP, BQ et le segment PQ (fig. 9). Pour cela, décomposons le segment PQ en un certain nombre de segments plus petits par des points de division d’abscisses 1, Lo, .., Ln 1, CES abscisses croissant avec l'indice, puis par ces points de division menons des parallèles à Oy. L’aire à évaluer se trouve ainsi décomposée en un certain nombre de trapèzes mixtilignes. ù
Considérons, par exemple, le trapèze mixliligne Ci 4 Mis Mici;
Fig. 9.
, ET 1, EL TME P Car Cu Mu
l'aire de ce trapèze est évidemment comprise entre l’aire 7; du rectangle c;, M;1pici et l’aire R; du rectangle c;, gimici. En désignant par & l’aire à évaluer, on a donc la double inégalité
Dire SR D R;.
Mais il est facile de calculer Zr'; et 2h:
>) r= fla)(e— a) + fe) (rem) ++ flans) (DE — ni). s =ŸR= f(#)(&1— a) + f(ar)(æa— 1) ++ f(6) (D — œn- 1).
La différence S — sa pour expression
S—s—(ai—a)[ ft) f(a)]+ (ere) Lf(es) —/(e)] +. + (6 — Gus) [CODEC
soit n la plus grande des différences æ, — a, %2— %,, ...;ilest clair qu'on augmente le second membre en remplaçant toutes ces différences par n. On a donc
S— 5 € n[f(r1) —f(a) + f(r2) 1) TON
el, par suite, ss nl /(0) Earl:
La différence S —s tend donc vers zéro lorsque le nombre » augmente indéfiniment de façon que la valeur maximum des diférences æ;— æ;, tende vers zéro. À plus forte raison, les diflérences 5 — b, JA — s tendent vers zéro dans les mêmes conditions, et .& est la limite commune des deux sommes S et s. On a, par exemple,
Gi) ÀL=limf(ri—a)f(a)+(r—2s) frs) +... +(0 —%n 1) f(Æn1) |.
Le raisonnement serait le même si la fonction f(x) était décroissante dans lintervalle (a, b). Si cette fonction présentait un certain nombre de maxima et de minima dans cet intervalle, on décomposerait le segment total en plusieurs segments partiels par les ordonnées des points où f(x) est maximum ou minimum. Nous allons donner un exemple dû à Fermat.
Soit à trouver l'aire comprise entre la courbe y = Ax#, l'axe des x et les deux droites + — a, x —b (o <a<b), l’exposant u étant quelconque. Pour cela, nous insérerons, entre a et b, n — 1 moyens géométriques, de façon à avoir la suite
a, a(r+a),, af), ONCE ESIEENRES
le nombre « satisfaisant à la condition « (1+ a) = b; les nombres précédents étant pris pour abscisses des points de division, les ordonnéés correspondantes ont pour valeurs
Aab, Aab(1+aé, Aab(itaÿh, ..., et l'aire du p“** rectangle a pour expression
[a(G+ a) — a(1+a)r-1]A ab (1 + a jp A'abtt afr + a )(P-1/u#1),
