I. — MÉTHODES DIVERSES DE QUADRATURE

La somme des aires de tous ces rectangles est donc égale à

À at ar + (ne (1 a) EE (1 + a fe1)pæ1)T; si u+1 n'est pas nul, ce que nous supposerons d’abord, la à (1 2 a) — 7

somme entre parenthèses est égale à RER eee . Le 4 ——

plaçant a(1 + &)" par bd, on peut écrire la somme précédente

» et, en rem-

a AA AURA emmener

(+ air

Quand x tend vers zéro, le quotient a pour limite

là dérivée de (1 a)"*t par rapport à «4, pour & —0, c'est-

A( bu — aurt) M HI

à-dire 1 + 1 ; aire cherchée est donc égale à

Lorsque u=—1, le calcul ne s'applique plus. La somme des aires des rectangles inscrits est égale à n Ac, et il faut chercher la limite du produit n4, n et à étant liés par la relation

On tire de là b J b I

na = log — ——— — 10s — ——— ° a log(1+ a) je #, log(1 + ax )*

log désignant le logarithme népérien; lorsque à tend vers zéro, {i+a)* a pour limite le nombre e, et le produit nœ a pour

0 . b 0 , LA si b limite 0e: L’aire cherchée est donc égale à A log:

71. Fonctions primitives. — L'invention du Calcul intégral a ramené le calcul d’une aire plane à la recherche d’une fonction ayant pour dérivée une fonction connue. Soit y = f(x) l'équation d’une courbe rapportée à deux axes rectangulaires, la fonction f(x) étant continue. Considérons l'aire comprise entre celte courbe, l'axe des +, une ordonnée fixe M,P, et une ordonnée variable MP comme fonction de l’abscisse x de l’ordonnée variable. Cette aire À est évidemment une fonction continue de x, tant que la fonction f(x) reste elle-même continue. Afin d’embrasser tous les cas possibles, nous conviendrons de désigner par 4 la somme algé-

brique des aires limitées par la courbe donnée, l’axe des x et les droites M,P;,, MP, chacune des portions dont peut se composer

cette aire étant affectée d’un signe, le signe + pour les aires à droite de M,P,,.et au-dessus de Ox, le signe — pour les aires à droite de M,P, et au-dessous de Ox, et la convention contraire étant faite pour les aires à gauche de M,P,. Ainsi, lorsque MP vient en M'P', on prendra & égal à la différence des deux aires

M, PoC— M'P'C;

de même, si MP est en MP”, on aura & — M'P'D- MP, D:

Ces conventions étant faites, nous allons montrer que la foncuon continue À ainsi définie a pour dérivée f(x). Prenons, comme l'indique la figure, deux ordonnées voisines MP, NO, d’abscisses x

et x + Ax. L’accroissement de l'aire A. est évidemment compris

entre les deux rectangles qui auraient pour base commune la distance PQ et pour hauteurs respectives la plus grande et la plus peute des ordonnées de l’arc MN; désignons ces ordonnées maxima et minima par H et 2, nous pouvons écrire

h Am < AN < H'Ar,

. e Ab je 4 ou, en divisant par Ax, h < Fret H. Lorsque Ax tend vers zéro,

la fonction f(x) étant continue, H et À ont pour limite com-

mune MP ou f(x); la fonction 4 a donc pour dérivée f(x). Len

lecteur vérifiera sans peine que la conclusion est la même, quelle

que soil la position du point M. Si l’on connaît déjà une fonction primitive de f(x), c’est-

à-dire une fonction F(x) ayant pour dérivée f(x), la diffé-

II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S Y RATTACHENT. 171 rence L— F(x) ayant sa dérivée égale à zéro se réduit à une constante C (n° 17). Pour déterminer la constante C, il suffit de remarquer que l'aire & est nulle pour l'abscisse x — a de la

droite M,P,. On a donc db = F(r)—F(a).

Le raisonnement qui précède prouve : d’une part, que la détermination d’une aire plane se ramène à la recherche d’une foncuon. primitive; d’autre part (et celte conséquence est beaucoup plus importante pour nous), que toute fonction continue f(x) est la dérivée d’une autre fonction. Ge théorème fondamental est ainsi établi à l’aide d’une notion géométrique un peu vague, celle de l'aire d’une courbe plane. On s’est contenté pendant longtemps de cette démonstration, mais elle ne saurait suffire aujourd’hui. Pour fournir une base solide au Calcul intégral, il est indispensable de donner de ce théorème une démonstration purement analytique, ne faisant aucun appel à l'intuition géométrique, d'autant plus qu'une fonction continue n’est pas toujours susceptuble d’une représentation graphique (n°%7et 33). Si j'ai rappelé la démonstration précédente, c’est non seulement à cause de son intérêt historique, mais aussi parce qu’elle nous fournit l'élément analytique essentiel de la nouvelle démonstration. C’est en effet l'étude des sommes telles que (1), et de sommes d’une forme un peu plus générale, qui va jouer un rôle prépondérant (!).