II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES QUI S’Y RATTACHENT

72. Les sommes S et s. — Soit f(x) une fonction bornée, conlinue ou non, dans l'intervalle (a, b), où a << b. Imaginons Pintervalle (æ, b) décomposé en un certain nombre d’intervalles par-

(2) Parmi les travaux les plus importants sur la notion générale d’intégrale définie, je dois citer ici le Mémoire de Riemann, Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique (Œuvrés de Riemann, traduites par Laugel, p. 225), et le Mémoire déjà cité de M. Darboux, Sur les fonctions discontinues (Annales de l’École Normale supérieure, 2° série, t: IV). Nous adoptons la définition de l'intégrale définie qui est due à Riemann. M. Lebesgue a proposé une définition plus générale (Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives; Gauthier-Villars, 1904).

tiels plus petits (a, Ti), (%1, Zo), ..., (Œn=1, bles nombres La, -.. Ln 4 allant en croissant; désignons par M et m les bornes de f(x) dans l'intervalle total, et par M; et m; les bornes de Ja même fonction dans l'intervalle (x;,, æ;), et posons

oi Mi(z—a)+Mr— ti) +...+M,(b—%;0,

S=M(Ti— Aa) + Mo(te— Ti) +...+ M(0= 2,1)

À tout mode de subdivision de (a, b) en intervalles plus petits correspond une somme S et une somme s S. Toutes les sommes S sont évidemment supérieures à m(b — a), car tous les nombres M; sont supérieurs où au moins égaux à M; ces sommes S ont donc une borne inférieure 1. De même, les sommes s, qui sont toutes plus petites que M(b — a), ont une borne supérieure L!. Nous allons montrer que [est au plus égal à 1. Il suffit évidemment pour cela de montrer qu'étant donnés deux modes de subdivision quelconques de l'intervalle (a, b), auxquels correspondent respecuivement les sommes S ets, Sets one Sr

Supposons d’abord qu’on subdivise chacun des intervalles (a, æ,), (Ti, To), ... en intervalles plus petits par de nouveaux points de division et soil

CPS TRUC os Vk-ir Pas VS corse Vi—190 Do .) b

la nouvelle suite obtenue; le nouveau mode de subdivision est dit consécutif au premier. Désignons par X et o les sommes analogues à S et à s relatives à cette nouvelle division de (a, b}, et comparons S et EX, s et s. Comparons, par exemple, les portions. des deux sommes S et Y qui proviennent de l'intervalle (aa) Soient M' et mn, les bornes de f(x) dans l'intervalle (a, Ya), M, et », les bornes dans l'intervalle (y, y2), ..., M, et m, les bornes dans l'intervalle (yx,, æ,). La portion de E qui provient de(a, z,) est donc égale à

Mi(yi—a)+M,(y2— 1) +. + Me (ai Ya)

(*) Ge résultat peut s'établir sans aucun calcul. Supposons, pour fixer les idées, f(æ) > 0 dans l'intervalle (a, b), et soit D le domaine formé par l’ensemble des points du plan dont l’abscisse æ est comprise entre à et b, et l’ordonnée y entre æ et f(æ). Toute somme S mesure l'aire d’un domaine polygonal P qui renferme le domaine D à l’intérieur, tandis qu’une somme s’ mesure l’aire d’un domaine polygonal p' contenu dans D. Le domaine P renferme donc le domaine p', et, par suite, on a S — 5".