MISES HI AEES SA
[LA
comme Ÿ est supérieur à ç, on en conclut que Por Nas, Toutes les sommes S étant supérieures aux sommes $, la borne Î ne peut être inférieure à la borne l'; doncon al2.
793. Théorème de M. Darboux. — Les sommes S et s tendent respectivement vers les nombres Let l' lorsque le nombre nr crott indéfiniment, de façon que la plus grande des différ'ences x; — Li, tende vers zéro.
Démontrons-le, par exemple, pour les sommes SSL ELU nombre positif arbitraire. Puisque 1 est la borne inférieure des sommes S, il existe une suite de nombres croissants
Han dede Lune 0
tels que la somme E, qui correspond à cette division de l’intervalle (&, b), soit inférieure à [+ - Prenons maintenant un nombre
positif quelconque n, inférieur à la plus petite des différences ET PAM ol Se LE b—"4p-1,
et considérons une suite de nombres croissants
— Lo ATI L 4 di Pr En b
tels que toutes ce différences rx s0iént 2207; eù soil Sa
somme supérieure qui correspond à cette nouvelle division de l'intervalle (&, b). Nous allons montrer que cette somme S sera plus petite que Î + +, pourvu que le nombre n soit assez petit. Pour cela, imaginons que l’on range tous les nombres x; et a; par ordre de grandeur croissante, et soit S' la somme supérieure qui correspond à ce troisième mode de division de lintervalle (a, b). Comme il peut être considéré comme consécutif à
! 4 | e chacun des deux premiers, on a S'SS, S'£Y, et par suite S<I+ 7
Pour avoir une limite supérieure de la différence S — S/, remarquons qu'on passe de la division qui donne la somme S à la division qui donne S’ par la décomposition de quelques-uns des intervalles (x;:,, x,) en deux intervalles partiels plus petits au moyen de l’un des points &;, @>, ..…., än 1. Le nombre total des intervallées (x;,,x;) que l’on décompose ainsi en deux autres est au plus égal à p — à, et l’on a
s—s => [M(æi, ai) (mi y)
— Mxis, ax) (ar ti) — Max, æ5) (æi— ar),
en désignant par M(x', x") la borne supérieure de f(x) dans l’intervalle (x', +”), et la sommation étant étendue à tous Les intervalles (+;,, x;) qui renferment à l'intérieur un des points &, 2, +, Ap 1. Soit H la borne supérieure de |f(æ)| dans lintervalle (&, b). On aura évidemment S —S! 2(p —1)Hn, car on peut encore écrire
SES > [M(xi1, 25) — Mai 1, ae 0) + [M(xi, œi) — Max, æ:)] (tr = ae).
Par suite, on a, a fortiort, S LI + = + 2(p —1)Hn, €
Pme 5 | 4Cp —1)H HA; Ai di, ..., b— ap 1, la somme $S, correspondant àun
mode quelconque de division de l'intervalle (a, b) en intervalles
et si le nombre ñ est inférieur au plus petit des nombres
II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S’Y RATTACHENT- 175 partiels d'amplitude inférieure à n, sera inférieure à [+e; ce qui démontre la proposition énoncée ().
Remarque. — Si l'on change arbitrairement la valeur d’une fonction bornée f(æ) en un nombre Jéni de points de l'intervalle, il est clair que les différences S — S', s— s' entre les deux sommes relatives à une même division tendent vers zéro lorsque la longueur maximum des intervalles tend vers zéro. Les nombres I, [sont les mêmes pour les deux fonctions.
74. Fonctions intégrables. — Une fonction bornée dans un intervalle (a, b) est dite intégrable dans cet intervalle si les deux sommes S et s tendent vers une limite commune lorsque le nombre des intervalles partiels augmente indéfiniment de façon que le plus grand de ces intervalles partiels tende vers zéro.
Pour qu’une fonction soit intégrable dans un intervalle (a, b), il faut et il suffit que l’on ait F— 1. Cette condition peut être remplacée par la suivante :
Pour qu'une fonction f(x), bornée dans un intervalle (a, b), soit intégrable dans cet intervalle, il faut et il suffit que la différence S — s tende vers zéro, lorsque le nombre des intervalles partiels augmente indéfiniment de façon que le plus grand de ces intervalles partiels tende vers zéro ar
(1) Le raisonnement est absolument pareil à celui qui nous a servi au n° HE On en trouvera encore d’autres exemples aux n° 82 (note) et {18.
(2) Cette condition peut être établie sans se servir du théorème de M. Darboux. D’abord elle est nécessaire, car, si S et s ont une limite commune, la différence S — s tend vers zéro.
Elle est suffisante. Nous pouvons écrire, en effet,
S—s—S—I+(I—L)+l—Ss;
aucun des nombres S—I, I—I', l'—sne pouvant être négatif, pour que leur somme tende vers zéro, il faut que chacun d’eux tende vers zéro ou soit nul. En particulier, la différence I — I’, qui est un nombre fixe, doit être nulle. Les deux autres nombres S — I, I'—s tendant vers zéro, S et s ont pour limite le nombre I. .
On doit à Stieltjes (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1'° série, +. VIIL, 1894, p. 1-122) une généralisation de la notion d’intégrale, qui nous sera utile dans la théorie dés intégrales curvilignes. Soient f(æ) une fonction continue dans l'intervalle (a, b), #(x) une fonction croissante dans le même intervalle. Remplacons, dans les expressions des sommes Su Ets PTT;
En effet, la différence S — s a pour limite 1 — ['. Si S—5 tend vers zéro, c'est que l’on a [ — T', et les sommes S et s ont la même limite [. | On peut encore remplacer cette condition par la suivante :
Pour que f(x) soit intégrable dans l'intervalle (a, b), il faut et il suffit qu'étant donné un nombre positif arbitraire + on puisse trouver une division de l’intervalle (a, b) telle que la différence S — s soit inférieure à &.
En effet, la différence S — s étant supérieure à 1— 1, on aura I—Tl'<e, et par suite l'=I, puisque e est un nombre positif arbitraire.
Toute fonction continue est intégrable. — La différence S — $ est, en effet, inférieure ou au plus égale à (b — a)w, en désignant par © une limite supérieure de l’oscillation de f(x) dans chaque intervalle partiel. Or on peut choisir un nombre n tel que l’oscillation soit moindre qu'un nombre positif donné dans tout
intervalle inférieur à x (n° 8). Si l'on choisit n de façon que
À ; L : € LE loscillation soit plus petite que 53 la différence S — s sera inférieure à €.
Toute fonction monotone est intégrable. — Supposons, pour
lixer les idées, la fonction f(x) croissante, de telle sorte que l’on ait
J(a)£E (a) f(t2)£...E f(&n-1) S F(OY:
par o(æx:;)
9(æ;,); les raisonnements du texte prouvent que les sommes a Y .
Mt Milo (æ)]—0(x;:2)], ue mile (æ;:) — (x; :)],
ont respectivement une borne inférieure I et une borne supérieure 1’, et que l’on a I'£I. D'ailleurs on a S,—s.<w[p(b)—p(a)],
où w est une limite supérieure de l’oscillation de f(x) dans chacun des intervalles partiels. On en conclut que les sommes S, et s, ont une limite commune,
b que l’on représente par la notation [ J\xæ) d[e(x)]. Il est clair que ces SAT ICE r
sommes S, et 5, ont aussi une limite commune lorsque 9(æx) est la différence de deux fonctions croissantes, c'est-à-dire une fonction à variation borneée.
11. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S'Y RATTACHENT. 197 On a, pour la division considérée CARNET 21. b),
S = f(æ1)(1— a) + f(ma)(æa— di) +... + f(b)(b— Zn), S — f(a) (ti — a) fai) (ra— 1) +... «+ /(Æn—1) (d — Dn-1)
D'après un calcul déjà fait (n°70), si toutes les différences x, — a, T2 —%1,... Sont inférieures à un nombre n, on a
etil suffit que soit plus petit ETS TES pour que S — s soit inférieure à €.
Soient %, A2, ..., y UNE suite quelconque de nombres croissants de & à bd. Si une fonction bornée f(x) est intégrable dans chacun des intervalles (a, 21), (a, 72), ..., (ap, b), elle est intégrable dant l'intervalle total (a, b). Si l'on considère, en effet. une subdivision de chacun des intervalles (œ&r, aix) telle que la différence S — s pour chacun de ces intervalles soit inférieure à €, la différence analogue pour l'intervalle total sera inférieure à P=.
Une fonction bornée f(x), qui présente un nombre quelconque de points de discontinuité dans un intervalle, est intégrable, . pourvu que l’on puisse renfermer toutes ces discontinuités dans un nombre fini d’intervalles dont la somme soit moindre que tout nombre positif donné. En effet, e étant un nombre posiuf quelconque, soit H une limite supérieure de [f(æ)|; nous pouvons par hypothèse renfermer les discontinuités de f(x) dans un nombre fini d’intervalles dont la somme des amplitudes est
4 CR \ e ° « - »
inférieure à Se La portion de S — s provenant de ces intervalles “ FC AMEER UE ; À : à , est évidemment inférieure à D'autre part, la fonction / (x) étant
continue dans les intervalles restants, on peut les décomposer euxmêmes en intervalles partiels plus petits tels que la portion cor-
Fr Ce re z respondante de S — s soit inférieure à ge On aura donc S — s <e,
n particulier, une fonction bornée qui n'admet dans l’intervalle (a, b) qu'un nombre fini de points de discontinuité est intégrable dans cet intervalle. ; |
Il résulte aussi immédiatement de la définition que, si une fonc- Uon f(x) est intégrable, il en est de même de Cf(zx), quelle que soit la constante C. Si fi(æ) et f2(x) sont deux fonctions inté-
grables, il en est de même de leur somme fitx) + f(x). Soient, en effet, S, s, S/, s', 2, s les sommes correspondantes à une même division de l'intervalle, pour ces trois fonctions ; on vérifie immédiatement que l’on a È — s<S—s + S'—Ss""Enapartennes toute fonction à variation bornée (n° 11), étant la somme de deux fonctions monotones, est intégrable.
Nous démontrerons encore que le produit de deux fonctions intégrables est une fonction intégrable. Supposons d'abord les fonctions f, (x), f:(æ) positives; soient M;, m;, M;, m;, M, pui les bornes supérieures et inférieures des trois foncuons f,(x), fat), fi(æ) f(x) dans l'intervalle (x:1, di), S, 5,55, 5,2, © les sommes correspondantes pour une certaine division de (a, b). On a évidemment AM; <M;M;, u;2m;m; et, par suite,
Mi MM — mm; = M;(Mi— mi) + m;(M;— nu), et, a fortiort, Ji — p;EM(Mi— mi) + M'(M; — mi), M et M' étant les bornes supérieures de f,(x) et de f(x) dans l'intervalle (a, b). En multipliant cette inégalité par æ; — æi 1, et ajoutant toutes les inégalités analogues, il vient
La différence È — 5 tend donc vers zéro.
Si les deux fonctions f, (x), f(x) ont des signes quelconques, on peut toujours leur ajouter des constantes G,, GC: telles que fitæ) + Gi, f2(x) + CG», soient positives. Le produit
Lite) + Ge) + Go] = fifa + Gi fe + Oo fi + Gi Co
étant intégrable, 1l en est de même de f, f2.
En combinant ces diverses propositions, on voit que, si jf, 2. .., fh sont des foncüons intégrables, tout polynome entier eD 1, [2 -.., fp est aussi une fonction intégrable.
15. Intégrales définies. — Soit f(x) une fonction intégrable dans l'intervalle (a, b). La limite commune des sommes Sets s'appelle une sntégrale définie et se représente par le symbole
I = [ ft) da,
Il. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S'Y RATTACHENT. 179
qui rappelle son origine, et qui se lit somme de a à b de INFACES D’après sa définition même, I est toujours comprise entre les deux sommes S et s, correspondant à un mode quelconque de subdivision; en prenant pour valeur approchée de Ï un nombre quelconque compris entre S et s, l'erreur commise est plus petite que la différence S —— s. |
On peut remplacer, dans la définition de l'intégrale, les sommes S ets par des expressions plus générales. Étant donnée une subdivision de l'intervalle (a, b)
A, y, Lo, ) Mis Di, ces Ln-1, b,
soient 4, Lo, .…., 65, .. des valeurs quelconques appartenant respectivement à ces intervalles partiels. La somme
(2) J(E)(ei— a) + f(E2) (Go — 21) +. + f(En) (O —2n 1)
=D SE) (Ti — Ti)
PE
est évidemment comprise entre les sommes S et s, Car on a tou- Jours m;£<f(&;)£M;; si la fonction est intégrable, cette somme a aussi pour limite 1. En parUculier, si l’on suppose que 4, É2, -.., En coincident respectivement avec @, Zi... Ln 15 ON retrouve la somme (1), considérée plus haut (n° 70). Le produit F(6;) (x: — x) est appelé un élément de l'intégrale.
De la définition de intégrale résultent immédiatement quelques conséquences. On à supposé dans le raisonnement a b ; si l’on échange les deux Hmites «a et b, tous les facteurs x; — x; , sont changés de signe, et la limite des sommes S et s elle-même est changée de signe ; on a donc
[raz = fly dr
Il résulte aussi de la définition que l’on a
[reaez [lrerde+ [ltd
Si C est compris entre a et b, c’est évident. Si b est compris entre 4 el c, par exemple, la formule subsiste encore pourvu que la
fonction f(x) soit intégrable entre a et c, car on peut l'écrire
free = fl rear- [rends = [ras [ride
Plus généralement, €, d, ..., l étant des nombres quelconques, on a
ECC = fra ['redsss [see
cette décomposition est employée pour le calcul d’une intégrale, lorsque la fonction f(x) présente des points de discontinuité ou n’a pas la même expression analytique dans tout l'intervalle (a, b). Si l’on a f(x) — Ao(x) + B4(x), À et B étant deux constantes quelconques, on a aussi |
fred f etrar- TTL.
et il en serait de même pour la somme d'un nombre quelconque de foncuons.
On peut remplacer f(£;) dans la somme (2) par une expression encore plus générale. L’intervalle (a, b) étant partagé en » inter valles partiels (a, æ1), (æ1, &>), ..., associons à chaque inter: valle (x; :,,x;) un nombre C; qui tend uniformément vers zéro en même temps que la différence æ; — x;,. Nous entendons par là:que, à tout nombre positif , on peut faire correspondre un autre nombre positif n, indépendant de x;, et de x;, tel que la
condition | æ; — +;,|< n entraine l'inégalité [Gi|<e. Nous allons
montrer que la somme
(3) T =Ù Lei) + Gl(œi— &i4) == 1 . . . Ô a pour limite l'intégrale définie 1e f(x) dx, pourvu que &; tende
uniformément vers zéro. Supposons, en effet, que l’on prenne un nombre n assez petit pour que l’on ait à la fois
7t b ô Die ais) — f f(x). detre | CES
