II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S’Y RATTACHENT

lorsque chacun des nombres |[x;— x; | est plus petit que r. Comme on peut écrire

nf fé

- Dem) ff) dx + Dir ri),

on voit que l’on aura aussi, dans les mêmes conditions,

b mr [ Lév) de

le théorème est donc établi.

C’est le plus souvent comme limites de sommes de la forme (3) que les intégrales définies se présentent dans les applications. Aussi aurons-nous souvent l’occasion d'appliquer cette propriété, qui s'étend aux intégrales doubles et aux intégrales triples.

16. Première formule de la moyenne. — Soient f(x) et L(x) deux fonctions intégrables dans un intervalle (a, b), telles que l’on ait constamment f(æ)£4%{zx). Si l’on suppose, pour fixer les

b idées, a < b, un élément quelconque de l'intégrale 4 f(x) dx est a

b au plus égal à l’élément correspondant de l'intégrale Î UN

et l’on a par conséquent

ÉCCOROE

Si les fonctions sont continues, les deux intégrales ne pourront être égales que si l’on à constamment f(xr)—4%(x); si l’on avait bd < a, le signe d’inégalité devrait être renversé.

Cela étant, supposons que la fonction à intégrer soit de la forme f(x} (x), la fonction o(x) conservant un signe constant. Admettons, par exemple, que l’on a a D, et o(x) > 0 dans l'intervalle (a, b). Soient M et m les bornes de f(x) dans cet intervalle. De la double inégalité |