ISA CET EM

on déduit, en multipliant par le facteur positif o(x),

mæ(x)=<f(x)p(x)<M (x) et, par suite,

b b b | m f (x) dx 2) J(æ)o(x) dæ £M f p(æ) dr, ce qui peut s’écrire b 4 b (4) À: f(r)e(ridr= à p(x) dx,

uw étant un nombre compris entre M et m. Cette égalité constitue F première formule de la moyenne. |

Elle s'applique, quelles que soient les limites a et b; pourvu que w(æx) conserve un signe constant. S1 la fonction fla) est continue, elle prend la valeur x pour une valeur copies, entre a et b, et l’on peut écrire la focale de la moyenne

b bd (5) J fa)e(e) de = JE [| sta) de,

& étant compris entre & et b. Si en particulier.on supposew(x) —1, b l'intégrale f dx est, d’après la définition même, égale à (b — a), Ë | et il reste

b (6) | JC) de = (6 — a) FE).

17. Seconde formule de la moyenne. — On doit à M. Bonnet une autre formule qu’il a déduite d’un lemme d’Abel.

Lemme. — Soientes,si,...,e, un nombre quelconque de quantités positives décroissantes, et Us, WU, ..., uh un même nombre de quantités positives ou négatives quelconques. Si toutes les SOMMES S9 — Un, S4 = Ug + WU, Sp = Ug + Li +. + Up SON comprises entre deux nombres À et B, la somme

S = toUo+ EU +... + Eplp

sera comprise entre Âc, et Be.