II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S’Y RATTACHENT
On peut écrire, en effet, Uo = So, Uri = Si — So, : S Up = Sp— Sp-1; la somme S est donc égale à S0(Eo— E1) + S1(E1— 22) HR. + Sp-1(Ep-1 — Ep) + SpEp.
Toutes les différences 54 — 81, &4 — 29, ..., 5p 1 — €} étant positives, on aura deux limites pour S en remplaçant 55, 81, ..., Sp par leur limite supérieure À, puis par leur limite inférieure B. On trouve ainsi |
S <'A(E0—E1+E —E2+...+Ep 1 —Ep+ ep) = Âe, et l'on voit de même que l’on a SZ Be.
Cela posé, soient f(x) et o(x) deux fonctions intégrables, la fonction o(x) étant positive el décroissante lorsque x croît de &
jusqu’à b. L'intégrale 4 162) o(x) dx est la limite de la somme
[= f(a)p(a)(ri—a)+f(r)p(ri) (—i)+...,
qui est comprise entre les deux sommes
! à [/4 l = À Mio(zi-1) (wi 1-1) et I =Ù moi) (ri ti), E i
M; et m, étant les bornes de f(x) dans lintervalle (x; ,, æ;). D'ailleurs la différence [! — [” est inférieure à
g(a) © (Mimi) (Ti — Xi-1)
et, par suite, tend vers zéro, puisque f(x) est intégrable. L’intégrale définie considérée est donc la limite commune des sommes
l'et[", et par conséquent de lasomme 1, — due Cris) (ti Lip} ; ä Li étant un nombre quelconque compris entre mn; et M. Choisissons ces nombres 4; de façon que
ALU ARE J(x) dz,
Li—1
ce qui est possible d’après la première formule de la moyenne. Les nombres o(a), &(x1), ... étant positifs et décroissants, il résulte du lemme d’Abel que cette dernière somme I, est comprise entre Ao(a)et Bo(a), À et B désignant le maximum et le mi-
s nimum de l'intégrale 4 f(x) dx, lorsque c varie de a à b. ? |
Comme cette intégrale est évidemment une fonction continue de c, on peut écrire, en passant à la limite,
(3) Î S(e)etæ) de =e(a) f f{æ)de (a<E£b)
Lorsque la fonction o(æ) est décroissante, sans rester positive, entre a et , on peut appliquer une formule plus générale due à Weierstrass. Posons, en effet, o(x)—o(b)+%4(x); la fonction (x) est positive et décroissante, et l’on peut appliquer la
formule (5) qui donne é ps | À fCæ) Ya) de = [e(e)— (6) [| fx) de On en ture b b 6 Jar tr) dr = fe) e(6) de + tete) —e(0) [ay
ou
b € b f(æ)e(x)dr=g(a) [7 fr) dx + e(6) [| ft) de.
5 “ HE œ + q( EC 7
On a des formules analogues lorsque la fonction w(æ) est croissante. 4
78. Retour sur les fonctions primitives. — Les théorèmes généraux qui précèdent s'appliquent à toutes les fonctions intégrables. Dans les applications qui vont suivre, la fonction à intégrer est le plus souvent une fonction continue ou, du moins, ne présente qu’un nombre fini de discontinuités dans l'intervalle d'intégration. Remarquons, une fois pour toutes, que la valeur d’une intégrale ne dépendant que de la nature de la fonction qu’on intègre et des
