II. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS. Vi

0 r . d \ h . f inférieur à M — + Prenons ensuite 7 assez grand pour que-a»

et b, différent de leur limite À de moins de n; l'intervalle (a», b) sera compris dans l'intervalle (À — n, À + n). La borne supérieure e f(x) dans l'intervalle (a;, b,) ne pourrait donc être égale à M. En rapprochant ce théorème du précédent, on en conclut qu'une fonction continue dans un intervalle (a, b) passe, au moins une fois, par toute valeur comprise entre sa borne supérieure et sa borne inférieure. Le théorème À peut de même s’énoncer ainsi : Étant donnée une fonction continue dans l’intervalle (a, b), on peut le décomposer en intervalles partiels assez petits pour que l’oscillation de la fonction dans chacun d'eux soit moindre que tout nombre positif choisi arbitrairement. L'oscillauon d’une fonction continue est, en effet, égale à la différence des valeurs de f(x) pour deux valeurs particulières de la variable.

Remarque. — Nous supposons toujours qu'il s’agit d’un intervalle fermé (a, b). Cette condition est essentielle. Par exemple, la fonction f(x) — 1 — x, définie dans l'intervalle ouvert(o <x£i1) qui ne contient pas la limite x = 0, est continue pour toute valeur de x dans cet intervalle. La borne supérieure est M —1,et f(x) n’atteint pas cette valeur.

9. Fonctions discontinues. Soit y — f(x) une foncuon définie dans un intervalle (a, b). Si cette fonction n’est pas continue pour une valeur x, comprise entre a et b, le point x, est dit un point de discontinuité. L'un au moins des deux nombres f(x, + &), (to — =), où l’on suppose : > 0, ne tend pas vers f(x5), lorsque e tend vers zéro. On dit que #, est un point de discontinuité de première espèce lorsque f(x9+ €) et f(x9 — €) ont l’un et l’autre une limite quand « tend vers zéro, et l’on représente ces limites par f(æo+ 0) et f(xo — 0) respectivement. Lorsque ces deux limites f(æ&o+ 0), f(x — 0) sont égales, le point x, ne peut être un point de discontinuité que si cette valeur limite est différente de (xs); il suffirait dans ce cas de modifier la valeur de la fonction au point x, pour supprimer la discontinuité. Mais si les deux nombres f(æs + o) et /(xo— 0) sont différents, quelle que soit la valeur

e f(x), le point x, est nécessairement un point de disconti- CODE. 2

nuité. Un point de discontinuité de première espèce est dit régulier si l’on a

(to 0) Ho 0),

G)— F0 EEE ee AU

remarquons que cette égalité subsiste pour tout point 3, où la fonction est continue. On verra plus loin (n° 32) des exemples de fonctions, représentées par des séries, qui ont des points de discontinuité de cette espèce.

Soit y — f(x) une fonction n'ayant dans un intervalle (a, b) qu'un nombre fini de points de discontinuité, tous de première espèce, et qu'un nombre fini de maxima et de minima. La courbe représentée par l'équation y — f(x) se compose de plusieurs traits

Fig.

continus, ne se rejoignant pas, tels que AC, C'D, D'B; la valeur de y, qui correspond aux abscisses c et d des points de discontinuité, peut être quelconque. S1 ces points de discontinuité sont réguliers, les points milieux des segments CC’, DD’ doivent être considérés comme faisant partie de la courbe représentative. Ba

: : De | sin x | : ; É fonction citée plus haut y — —— serait représentée par deux

traits continus aboutissant respectivement aux deux points d'ordonnées + 1 et — 1 sur l’axe Oy. |

Si æ, est un point de discontinuité de seconde espèce, l’un au moins des nombres f(æy+e), f(Xxo—+<) ne tend vers aucune limite lorsque le nombre positif e tend vers zéro. Si, par exemple, f(xo+ €) ne tend pas vers une limite, il y aura encore à distinguer deux cas possibles, suivant que f(x, +<) augmente indéfiniment on non en valeur absolue. |

Considérons une fonction f(x) définie analytiquement, par exemple au moyen d’un nombre fini de symboles élémentaires;