EUX

ou, en appliquant la formule de la moyenne (6),

F(x+h)—F(x) = hf(E),

Ë étant compris entre æ et x + h. Lorsque À tend vers zéro, f (£) a pour limite f(x); la fonction F(x) a donc pour dérivée f(x), et le théorème fondamental du Calcul intégral est ainsi établi sans faire aucun appel à l’intuition géométrique (!).

Toute autre fonction admettant la même dérivée s'obtient en

(1) Quand Ia fonction f{æx) est continue, la recherche d’une fonction primi- T tive de f(x), ou le calcul de l'intégrale définie 1 f(æ)dx, ne forment qu’un

seul problème. Il n'en est pas de même pour une fonction quelconque. Tout ce qu’on peut affirmer, c’est que, si une fonction intégrable f(x) est la dérivée, d’une fonction F(x), la fonction primitive F(æ) est égale, à une constante près,

TL à l'intégrale définie 42 f(æ) dx. Cela résulte immédiatement de la relation

F(b)—F(a)=(æ—a)f(E)+ (m2) FE) ++ (b— an) f(E

qui est une conséquence de la formule des accroissements finis. Mais il peut se faire qu’une fonction intégrable f (x) ne soit pas la dérivée d’une autre fonction, ou qu'une fonction dérivée ne soit pas intégrable. (Voir l’Ouvrage cité plus haut de M. Lebesgue.)

ajoutant à F(æ#) une constante arbitraire @. Il existe une de ces fonctions, et une seule, prenant une valéur donnée à l'avance y, pour + — a; c'est la fonction

Jo + f{t) dt.

Toute fonction ayant pour dérivée f(x) est une intégrale indéfinie de f(x) et se représente par le symbole

IMOrC

où l’on n'indique pas les limites. D’après ce qu’on vient de voir, on a

frteyae = f PR

Inversement, si l’on a obtenu par un moyen quelconque une fonction F(x) admettant pour dérivée f(x), on peut écrire

Î fee) de = F(œ)+ C;

pour déterminer la constante C, il suffit d'observer que le premier membre est nul pour + = a. On doit donc prendre C=- — HA et l’on a la formule fondamentale k

(8) “É fCæ) dx =E(x) — F(a).

Remplaçons dans cette formule f(x) par F'(x); il vient

F(æ)—F(a) = f FH) de

ou, en appliquant le théorème de la moyenne, -F(æ)— Fa) =(x —a)F'(E),

Ë étant compris entre a et x. Nous retrouvons le théorème des

accroissements finis; mais la démonstration est moins générale que la première (n° 17), car elle suppose la continuité de la”

dérivée F'(x). 2 La formule fondamentale (8) a été établie en supposant la fonc-.

LA