S'Y RATTACHENT

ion f(x) continue entre & et b. Si l’on n’a pas égard à cette condiuon, on peut être conduit à des conclusions paradoxales. Ainsi,

en prenant f(x) — = la formule (8) donne

le premier membre n’a de sens Jusqu'ici que si a et b sont de même signe, tandis que le second membre a une valeur déterminée, alors même que a et b sont de signes différents. Nous verrons plus tard l'explication de ce paradoxe ,'en étudiant les intégrales définies prises entre des limites imaginaires. 1

La valeur absolue de f(x), |f(x)| est, dans tous les cas, une fonction primitive de f'(x) : f(æ); mais, d’après la remarque qui - vient d’être faite, l'égalité correspondante

je La Aloe f(b)

n'est valable que si f(x) ne s’annule pas et reste Dr et continu

JG).

Fa | par Fa).

entre a el b; dans ces conditions on peut rem placer |£

On reviendra plus tard sur cette formule.

La formule (8) peut aussi présenter quelque ambiguïté : ainsi,

, elle donne

en prenaut j (T) — up dr

[ ——— = arc tang bd — arc tanga.

PE en

Le premier membre a un sens bien déterminé, tandis que le second membre présente une infinité de A Re Pour lever

MENT Pr OI Dies

cette fonction F(x) est continue dans tout intervalle et s’annule avec æ. Désignons, d'autre part, par Arctangæ l'arc compris

l'ambiguïté, posons

TT 4 . A » — ’ entre — — et + -. Ces deux fonctions ont même dérivée et s’anp 3)

nulent pour x — 0; elles sont donc égales, et l’on peut écrire

He ef E-f = ES —— = Arctangd — Arc tanga,

en prenant toujours pour Arctang la valeur comprise entre — a eus

A ANES p ei

On établit de même la formule Nr

Vi— x?

où le radical est pris en valeur absolue, où «& et b sont compris

= Arc sinb — Arcsina,

entre —-1 et a et où l’on désigne par Arcsinæ l'arc compris

TC entre M = el + : —

D'une manière générale, lorsque la fonction primitive F(x) admet plusieurs déterminations, on choisira une des valeurs initiales F(a) et l’on suivra la variation continue de cette détermination lorsque + varie dans le même sens de «a x b. Il est quelquefois plus commode d'introduire une fonction primitive discontinue, en généralisant d’abord la formule (8). Cette formule fondamentale (8) a été établie en supposant que les deux fonctions f(æ) et F(x) sont continues dans l'intervalle (a, b) et qu’on a, en tout point de cet intervalle, F'(x) = f(æ). Nous allons faire des hypo= thèses un peu plus générales. Supposons. que les deux fonctions F (x) et f(x) satisfont aux conditions précédentes, sauf en un nombre fini de points de l'intervalle (a, b), que nous appellerons des points exceptionnels, Nous admettrons de plus que f(x) reste bornée, et que F(x) n’a, dans cet intervalle, que des points de discontinuité de première espèce. Pour voir comment on doit modifier la formule (8) dans ce cas, supposons d'abord qu’il n’y ait dans l'intervalle (a, b) qu’un seul point exceptionnel €; e désignant un nombre positif très petit, nous pouvons écrire, en supposant a <Lc<b,

“as f(x) dx NE EVE af | ftæ) Pe. f(x) dr: