PANNE + Q

où f(æ)—= =; P et Q étant deux fonctions continues, ainsi que leurs

dérivées, dans l'intervalle (&, b), et qui ne s’annulent pas en même temps. Une fonction primitive est F(æ) = Arctang[f(æ)]. Si la fonction f(x) ne devient pas infinie dans l'intervalle (a, b), cette fonction primitive reste continue et l’on a, d'après la formule (8),

JAGORE Arc tang f(b)— Arctang f(a) me AT o = Arc tai a "2 D 8 J(a).

2 MEET Cette formule n’est plus applicable en général si f(æ) devient infinie entre a et b. Soit c un point où f(æ) devient infinie en passant de + : TC T < M oua Pc lo), F(c+o)—— el par suite À=—T. S1 4 2 MA Npasserde —@ à © pour 7 —c, la discontinuité est égale à 7. Enfin, on a A —0o, si f(x) devient infinie sans changer de signe. La somme des discontinuités de Arc tang [f(æ)] est donc égale à —(K— K')7, K désignant le nombre de fois que f(x) devient infini en passant de + à — «, K' le nombre de fois que f(æ) passe de — æ à + +. Le nombre K — K' est appelé l'indice de f(x) dans l'intervalle (a, b} et se représente par [#[f(x)]. On a donc la formule générale

fe) dr

D ET f(æ)].

À V Lorsque f(x) se réduit à une fonction rationnelle ce on peut calculer

l'indice par des opérations élémentaires, sans connaître les racines Hervi Il est clair qu’on peut supposer V; premier avec V et de degré inférieur à V, car on ne change pas l'indice en retranchantun polynome. Cela posé, imaginons la suite des divisions à effectuer pour trouver le plus grand commun diviseur entre V et V;, en changeant chaque fois le signe du reste. On divise d’abord V par V;,, ce qui donne un quotient Q; et un reste —V, : on divise ensuite V; par V;, ce qui donne un quotient Q, et un reste — V;, et ainsi de suite; on finira par arriver à un reste constant — V,,,. Les opérations donnent la suite d’égalités

Va V: Qi — V), Vi V2 Q2— Va, …… Vas = Na et la suite de polynomes (10) VE Vi, Vo, *..) NET VF, L'ESE COM" Vh; VA

jouit des propriétés essentielles d’une suite de Sturm : 1° deux polynomes consécutifs ne peuvent s’annuler en même temps, car on en déduirait de proche en proche que cette valeur de æ doit annuler tous les autres polynomes, et en particulier V,,;,; 2° lorsqu'un des polynomes intermédiaires V, Ven , Va S'annule, le nombre des variations présentées par la suite (10) ne change pas, car, si V, s’annule pour æ = c, V,1et V,,, sont de signes contraires pour æ = c. Il s'ensuit que le nombre des variations présentées par la suite (10) ne peut changer que lorsque æ passe par une racinerde V0 Si . passe de + æ à — %, ce nombre augmente d’une

SARA LEE Le À RCA EN :

unité; 1] diminue au contraire d’une unilé, Si — passe de — © à +,

L'indice est donc égal à la différence entre le nombre des variations de la Suite (10) pour æ =bet x = a.

80. Aire d’une courbe plane. — Appelons domaine polygonal tout domaine plan borné dont la frontière se compose d’un nombre fini de portions de droites; ce domaine peut être formé de plusieurs polygones dont les frontières n'ont aucun point commun. L’aire d’un domaine polygonal a été définie en Géométrie élémentaire (*). Considérons maintenant une courbe fermée sans point double C (n° 13), qui divise le plan en deux régions, un domaine intérieur. D et une région exlérieure, Attribuer une aire au domaine D, cela revient au fond’à admettre le postulat suivant :. TS

(") Voir, par exemple, la Note D des Leçons de Géométrie elémentaire de M. Hadamard,