II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S Y RATTACHENT

I. /l existe un nombre, et un seul, qui est plus grand que tout nombre mesurant l'aire d’un domaine polygonal quel. conque contenu dans D, et plus petit que tout nombre mesurant l'aire d’un domaine polygonal quelconque contenant D.

L'existence d’un nombre unique satisfaisant à ces deux conditions peut être établie rigoureusement lorsque la courbe C satisfait à une condition très générale qui est toujours vérifiée par les courbes qu’on considère habituellement.

Soient P un domaine polygonal contenant D, p un autre domaine polygonal contenu dans D, À et a les aires respectives de ces deux domaines. Il est clair que, quels que soient les deux domaines polygonaux P et p, ona A a. Les nombres À ont donc une borne inférieure L, et les nombres a une borne supérieure À; de plus, on a nécessairement A'£ AL. Le domaine D est dit quarrable, si l’on a L'— A, et le nombre À mesure l'aire du domaine D (t}. Il est clair que c’est le seul nombre satisfaisant à la condition (1).

Pour que le domaine D soit quarrable, il faut et il suffit que, quel que soit le nombre positif €, on puisse l(rouver un domaine polygonal P renfermant D, et un autre domaine polygonal p, contenu dans D, tels que la différence A — a des aires de P et de p soit inférieure à :. :

La condition est nécessaire, d’après la définition même. Elle est aussi suffisante, puisque la différence A— a ne peut être infé- Heure à la différence & — ’. Il suit de là que, si le domaine D est quarrable et a pour aire 4, il est LouJours possible de trouver deux domaines polygonaux P et p, l’un contenant D, l’autre contenu dans D, tels que les différences À — 4, 4 — a soient moindres que tout nombre positif donné &. La condition précédente pour que D soit quarrable peut encore s’énoncer ainsi : 1 faut et il suffit que la frontière G puisse étre renfermée dans un domaine polygonal dont l'aire soit moindre que tout nombre donné. Car tout domaine polygonal renfermant C est la

(:) Gette définition de l'aire d’un domaine plan est empruntée aux Leçons sur les théories générales de l'Analyse (t.I, p. 148) de M. Baire; elle peut s’appliquer à des domaines définis d’une facon plus générale que ceux considérés ici.

différence de deux domaines polygonaux, l’un contenant D, l’autre contenu dans D. ;

Imaginons qu’on décompose un domaine D, formé des points intérieurs à C, en deux domaines analogues D, et D, en joignant par exemple deux points de C par un arc de courbe €C! situé dans D. Si D, et D, sont quarrables, il en est de même de D, et l'aire de D est la somme des aires de D,.et de D

Soient P, et p, deux domaines polygonaux, l’un renfermant D,, l’autre contenu dans D,, A, et a, leurs aires respectives; P,,p2, A;, &2 ayant la même signification pour D, il est clair que le domaine polygonal formé par la réunion de p, et P2 est contenu dans D. On a donc a; + a» << 4. D'autre part, les deux domaines P, et P, forment par leur réunion un domaine polygonal contenant D. Comme ils ontune partie commune, on a A,HA, =>, LT (A, — a;)+ (A: — a2). Les domaines D, et D, étant quarrables, les différences A, — &i, A2 — a: peuvent être rendues aussi petites qu’on le veut. On a donc L/— À, et la double inégalité &; + ao << db << y + A montre-bien que l’aire de D est égale à la somme des aires de D, et de D;. Inversement, si Der D, sont quarrables, il en est de même de D, ; en effet, D et D, étant quarrables, on peut enfermer les frontières de ces deux

et par suite À”

domaines dans des domaines polygonaux dont l'aire est moindre que tout nombre donné. Il en est donc de même de la frontière de D, ; D étant quarrable, il résulte de la première propriété que son aire est la différence des aires de D et de ER |

Le raisonnement peut être généralisé. Si un domaine D, dont la frontière se compose d’un nombre quelconque de courbes fermées, peut être décomposé en une somme ou une différence de domaines quarrables tels que ceux dont il vient d’être question, ce domaine D est quarrable et son aire est la somme ou la différence des aires des domaines qui le composent.

81. Calcul d'une aire plane. — Nous ne considérerons que des domaines plans limités par des courbes fermées telles que celles que l’on considère habituellement. Il est facile de montrer qu’ils sont quarrables.

Reprenons d’abord un domaine D analogue à celui qui nous a servi de point de départ (n° 10), limité par un are de courbe AB,