II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S°Y RATTACHENT

qu'une parallèle à O y ne peut rencontrer en plus d’un point, les deux ordonnées AP, BQ et le segment PQ de l'axe Ox. Soient a et D les abscisses des points P et Q (a <b), y— f(x) l'équation de larc AB, f(x) étant une fonction continue et positive dans l'intervalle (a, b). Prenons une suite de nombres croissants #,. Lo, -.., Ln 1 COMPrIS entre « et b, et soient m;et M; les valeurs extrêmes de / (x) dans l’intervalle (æi 1, æi). Considérons les deux séries de rectangles 7; et R; limités parles droites y —0,x—2zx;, æ = x; d'une part, et par les droites y = m;, Y = M; respectivement. Il est clair que les rectangles r; forment un domaine polygonal contenu dans D, tandis que les rectangles R; forment un domaine polygonal contenant D. Or, les aires de ces deux domaines sont respectivement |

D n—>: Mi(Li— Li), D R=Ÿ Mi(æi— x);

la borne supérieure de Xr; et la borne inférieure de SR; sont égales. Le domaine D est donc quarrable, et son aire est repré-

b sentée par l'intégrale définie £ f(x)dzx. Le résultat est bien con- D

forme à la notion intuitive de l'aire fournie par la Géométrie. Remarquons que, quel que soit le signe de f(x) dans l'intervalle

(a, b), on peut regarder l’intégrale définie f f(x)dx comme re- AE

présentant une aire, pourvu qu’on adopte la convention faite plus haut (n° 71). On a conservé le nom de quadrature pour désigner le calcul d’une intégrale définie.

Considérons en second lieu un domaine limité par deux segments AA’, BB’ de droites parallèles, et deux courbes Am,B, Am, B' situées entre ces droites et rencontrées en un seul point par une parallèle à cette direction, et ne se coupant pas (fig. 11). Choisissons pour axe Oy une droite parallèle à AA’, et pour axe Ox une droite perpendiculaire telle que le domaine soit tout entier au-dessus de cet axe. Dans le cas de la figure, le segment BB' se réduit au point B; soient y; —%,(x), Ya V(x) les équations des deux arcs de courbe Am, B, A'm2B!.

Le domaine D est la différence entre les deux domaines quarrables limités par les contours Am, BQPA, Am; BQPA'; il est

Le À 13

donc lui-même quarrable et son aire est égale à la différence des

b b fé Wa(x) dr, % W1(æx) dx.

Tout domaine, qui pourra se décomposer en domaines tels que

deux intégrales

Fig rie

le précédent, sera donc quarrable et son aire s’exprimera par une somme algébrique d'intégrales définies. Si les axes de coordonnées, au lieu d’être rectangulaires, font un angle 6, les intégrales définies devront être multipliées par sind.

Il est quelquefois commode d’employer des coordonnées polaires pour le calcul des aires. Soit à évaluer l’aire d’un domaine limité par deux segments de droite OA, OB faisant des angles w, et Q avec un axe polaire Ox(w, << Q), et un arc AMB situé dans l'angle AOB et qui n’est rencontré qu’en un point par une demidroite située dans l’angle AOB. Soit p = f(w) l’équation en coordonnées polaires de cet arc AMB. Divisons l’angle AOB en un certain nombre d’angles plus petits au moyen de rayons vecteurs faisant des angles croissants w,, w,, ... avec Ox. Soient OM;, OM;;, deux rayons vecteurs consécutifs faisant avec Ox les angles w;, wi44, 04 eto; le minimum et le maximum de f(w) dans l'intervalle (w;, w;,,). Construisons d’une part le triangle isocèle £; de sommet O, et dont les deux autres sommets sont à une distance 0. de O sur OM; et OM;,,, d'autre part le triangle rectangle T; de sommet O, et dont le sommet de l’angle droit s’ob-