II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S'Y RATTACHENT

ent en portant sur OM; une longueur égale à 0°, le troisième sommet étant sur OM;,,. Il est clair que l’ensemble des triangles £; forme un domaine polygonal contenu dans D, et l’ensemble des triangles T; un autre domaine polygonal contenant D. Les aires de ces deux domaines sont respectivement

; No | I \9 2 > (pi)? sin(w;+1 — w;), = > (p;)? tang(w;41 — u);)

. . I c « et ont l’une et l’autre pour limite = f e? dw. La première par e Wo exemple peut s’écrire

= D CPE — 65) (wi — où),

£; tendant uniformément vers zéro en même temps que (w:4, — w;). L'aire du domaine D est donc égale à l'intégrale dé-

finie Q

T en 2 do:

7 ep? dv;

I rrr . ; . . .

5 P* dw est l’élément d'aire en coordonnées polaires. La significa-

tion géométrique est évidente,

On ramènera aisément à ce cas particulier le cas d’un domaine limité par un contour de forme habituelle, en le considérant comme la somme ou la différence d’un certain nombre de domaines tels que le précédent.

Remarque I. — Le nombre qui mesure l'aire du domaine limité par une courbe fermée a été défini comme une coupure dans l’ensemble des nombres positifs. De cette définition résultent un certain nombre de propriétés qui pourraient aussi servir de définitions. En voici une qui se rapproche peut-être davantage de la notion vulgaire de l’aire. Soit C une courbe plane fermée limitant un domaine quarrable D d’aire A. Prenons un domaine polygonal P contenant D, et dont l’aire soit inférieure à A +e, et un autre domaine polygonal p contenu dans D dont l'aire soit supérieure à À — ce. L’aire du domaine polygonal K, différence des deux domaines P et p, est alors inférieure à 2e.

On peut encore remplacer ce domaine polygonal K par un

autre domaine polygonal K,, renfermant C et d’aire inférieure à 4e, et dont la frontière L n’a aucun point commun, avec G. En effet on peut remplacer la ligne polygonale { qui limite K extérieurement par une autre ligne polygonale formée de droites parallèles aux côtés de la première et à une distance assez petite pour que l’aire du domaine compris entre les deux lignes soit inférieure à , etopérer de même par la ligne ? qui limite K intérieurement.

Cela posé, effectuons un carrelage plan au moyen de parallèles à deux directions rectangulaires distantes de 2. Nous aurons trois espèces de carrés : 1° les carrés intérieurs à D, ceux dont tous les points intérieurs font partie de D; 2° les carrés extérieurs, qui n’ont aucun point commun avec D; 5° les carrés mixtes, qui ont à la fois des points dans D et des points extérieurs à D. Il est aisé de voir que la somme des aires des carrés mixtes tend vers zéro lorsque p diminue indéfiniment. En effet, soit à le minimum de la distance d’un point de C à un point de la ligne polygonale L qui

V2 sont certainement dans le domaine K,, puisque chacun d’eux a un point sur C. La somme des aires de ces carrés mixtes est donc

limite le domaine K,. Si l’on a pris 6 << —=> tous les carrés mixtes

inférieure à 4e, et par conséquent tend vers zéro avec p, puisque € est un nombre positif arbitraire. On voit de la même facon que /a somme des aires des carrés intérieurs tend vers l'aire du domaine D lorsque s diminue indéfiniment. En effet, cette somme est inférieure à A, mais la somme des aires des carrés intérieurs et des carrés mixtes est supérieure à L, et, comme la somme des aires des carrés mixtes est inférieure à 4e, on en conclut que la différence entre l’aire 4 du domaine D et la somme des aires des carrés intérieurs est inférieure à 4€.

Remarque II. — Considérons, en particulier, un domaine tel que celui de la figure 1 (n° 9), limité par le contour