II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S'Y RATTACIHENT

des intégrales LE

(11) [rer + [year + [jee = [rer dr.

Si l’on remplace l’ordonnée BB, par une ordonnée variable, TL l'intégrale définie F(x) — J. f(x) dx est encore une fonction «Œ

continue de æ. En un point æ, où f(x) est continue, on a encore F’(x) = f(x). Pour un point de discontinuité, æ = c par exemple, on a \

c+/h F(o+h)— F(e)= f f(x) dx = hf(c+0h) (osé dead:

: F(c+h)—F(c) or ne | le DUO a pour limite f(c+o) ou f(c—o), suivant que À est positif ou négalif. Cet exemple montre bien

clairement que, si f(x) est une fonction intégrable non continue,

n l'intégrale F(x) — \. f(x) dæ n’admet pas nécessairement f(x)

pour dérivée.

82. Longueur d’un arc de courbe. — Soient (12) m=f(t), yæg(t), z=vŸ(t)

trois fonctions continues de € dans un intervalle (a, b), où a < b. En faisant croître & de «a à b, le point de coordonnées (x, y, 3) décrit ur arc de courbe AB, fermé ou non, pouvant avoir un nombre quelconque de points doubles. Prenons entre a et b une suite de nombres croissants (a = to ty ta << tr = D), et soient P,, P,, ..., P,,, P, les points correspondants de Îa courbe, P, coïncidant avec A, et P, avec B. Ces points P,, P, P,, ..., P, sont les sommets successifs d’une ligne polygonale inscrite dans l’arc AB, de longueur L. Si le nombre nr augmente indéfiniment, de façon que toutes les différences t;— {;, tendent vers zéro, tous les côtés de cette ligne polygonale tendent aussi vers zéro. Lorsque la longueur L tend vers une limite S, on dit que la courbe est rectifiable, et la limite S représente la longueur de l’arc de courbe AB.

Nous allons démontrer que la courbe est rectifiable lorsque les fonctions f(t), e(t), Y(t) admettent des dérivées f'(t), &'(t), d'(4) continues dans l’intervalle (a, db) (').

Soient x;, Yi, 3: les coordonnées du sommet P; et c; la longueur

(1) Ce sont là des conditions suffisantes, mais non nécessaires. Les conditions à la fois nécessaires et suffisantes pour qu'une courbe soit rectifiable ont été données par M. Jordan : Pour qu'une courbe GC soit rectifiable, il faut et il suffit que l’ensemble des nombres L, qui mesurent les périmètres des lignes poly gonales inscrites dans C, soit borné.

La condition est nécessaire. Supposons, en effet, que L tende vers une limite S, quand n croît indéfiniment, le maximum À des côtés de la ligne polygonale tendant vers zéro. Il ne peut exister aucune ligne polygonale inscrite dans C dont le périmètre L' soit supérieur à S. En effet, s’il en existait une, en divisant chacun des intervalles en intervalles partiels de plus en plus petits, les périmètres des nouvelles lignes polygonales seraient tous supérieurs à L’ et, par conséquent, ne pourraient tendre vers S. ;

La condition est suffisante. On le démontre par un raisonnement tout à fait pareil à celui qui a été déjà employé deux fois (n° 11 et 73). Soit S la borne supérieure des nombres L; e étant un nombre positif donné à l’avance, il existe une suite de nombres croissants

telle que le périmètre À de la ligne polygonale inscrite correspondante soit supé-

< L € \ ; à ; rieur à S — a Considérons une suite quelconque de nombres croissants (a = 2 Lt LOL PNR

telle que tous les intervalles £,— t,, soient plus petits qu’un nombre positif , qui est lui-même inférieur à la plus petite des différences a, — a,, a, —a;, ... b—a,,; soit L le périmètre de la ligne polygonale inscrite correspondante. Nous allons montrer que S — L sera << e, pourvu que n soit assez petil.

Pour cela, imaginons qu’on range les nombres t; et a, par ordre de grandeur croissante, et soit L' la longueur de la ligne polvgonale auxiliaire obtenue par ce nouveau mode de division. Le nombre L' est supérieur ou au moins égal à L

et à À, et par suite plus grand que S — a

On passe de la ligne polygonale de longueur L à la ligne polygonale de longueur L’ en remplaçant les côtés c;, tels qu’il y ait un point a, dans l’intervalle (£;;, t;), par les deux autres côtés du triangle ayant pour sommets les points qui correspondent aux valeurs £,,, a,, t,; de £. Le nombre de ces côtés est au plus égal à p — 1. Supposons que l’on ait pris le nombre n assez petit pour que l'inégalité] #’— &"| <n entraine l’inégalité

VÉFOD SUN ETC) = 6 PETPO =UDP < pp

ce qui est possible puisque f, #, 4 sont continues; on aura L' — L < -, et, comme

in +06.

II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S’Y RATTACHENT. 199 du côté P;, P;;ona = V(ri— dis) + (ip + (a 23),

ou, en appliquant la formule des accroissementsfinis àx;—x; ,,...,

= (ti — li-1) VIS EDP + Lo Cri) P+ LACOIE Éj, Ni, Gi étant compris entre t;, ett;. Lorsque l'intervalle (4;,, ti) est très pelit, le radical diffère très peu de VIS GP + Te a) P + TV CT;

pour trouver une limite de la différence, nous pouvons l’écrire

Ce AU AR EP GET} Sri VAE TECHEM RE EME ONE

Or,ona PAC ESPOIR CEE TEUIESS

et, par suile, RC + f'(ti1) CE VA2CE) ++ VF) + |

Les trois fonctions f’(4), »'(4), Ÿ'(£) étant continues, à tout nombre positif : on peut associer un autre nombre positif n, tel que, dans tout intervalle d'amplitude moindre que n, l’oscillation

des fonctions f’(t), w'(t), L'(4) soit inférieure à Nous avons

€ : D L'est > S — 5? On aura aussi L > S —:. Le nombre L a donc pour limite S.

Le nombre L est au moins égal à chacun des nombres

»> fax; 1], > [Yi Tin à [3 Zil:

Pour que L soit borné, il faut donc que les trois fonctions f(£), (4), (4) soient à variation bornée. Ces conditions sont suffisantes, car on a, d’un autre

côté, LE Ÿ 12 Zi] + > Flo À +Y ls; 3: |:

En résumé, pour qu'une courbe soit rectifiable, il faut et il suffit que les trois fonctions f(t), #(t), Y(t) soient à variation bornée.

donc = (ti ti) [V2 + ei) € VC) + pi,

0; tendant uniformément vers zéro avec {;—t;,, et par conséquent le périmètre L = Xc; a pour limite (n° 75) l'intégrale

b (13) s = | VF SEE UT dt.

La démonstration précédente s’étend aussi au cas où les dérivées f’, ©’, d' seraient discontinues en un nombre fini de points de l’arc AB; ce qui arriverait si la courbe présentait des points anguleux. Il suffirait de partager l'arc AB en plusieurs autres, pour chacun desquels f”, o', d/ seraient continues.

De la formule (13), on déduit que l’arc compris entre un point fixe À et un point variable M, correspondant à la valeur £ du paramètre, est une fonction de £ ayant pour dérivée

dS ne ————— À = VF

en élevant au carré les deux membres et multipliant par d£?, il vient (14) dS?= dx?+ dy? + dz?,

formule qui a lieu, quelle que soit la variable indépendante. On peut la retenir aisément, d’après sa signification géométrique; elle exprime que dS est la diagonale d’un parallélépipède rectangle dont dx, dy, dz sont les trois arêtes.

Remarque. — En appliquant la formule de la moyenne à Pintégrale définie qui représente l’are M, M,, dont les extrémités correspondent aux valeurs {4, {, du paramètre (4, > t5),ona

s= arc MoMi= (ti — to) Vf2(0) + 92(0) + ÿ2(0),

ÿ étant compris dans l'intervalle (4,, £,). On a de même, en désignant par c la corde M,M,, :

= [/(4)— (HP + Le(4) = (4) + LHC) = (40):

en appliquant la formule des accroissements finis à chacune des