II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS QUI S'Y RATTACHENT

différences /(4,)— f(tx), -.:, nous pouvons écrire

c=(t— to) FPE) + p?(n) + YA(L), les trois nombres £, n, € appartenant à l’intervalle (4, t,). D'après le calcul fait plus haut, la différence des deux radicaux est inférieure à e, pourvu que l’oscillation des fonctions f'(£), @'(4), Y'(6) soit inférieure à = dans l’intervalle (49, €,). On a donc

. s—c<e(ti—to), et par suite

TA OETEUET EU)

Si l'arc Mo M, devient infiniment petit, #,—t{, tend vers zéro; ; À : C il en est de même de & et, par suite, de 1 — =: Donc le rapport

d’un arc infiniment petit à sa corde a pour limite l’unité.

Exemple. — Soit à trouver l'arc d’une courbe plane donnée par son équation en coordonnées polaires p — f(w). En prenant w pour variable indépendante, la courbe est représentée par les trois équations x = p COSW, Y — P sinw, 3 — 0, d'où l’on tire

ds? = dx? + dy? = (cosw do — p sinw dw)? + (sinw do + p cosw du }?,

ou, en réduisant, ds? = do? + p? du?.

Prenons, par exemple, la cardioide représentée par l'équation p—=R+R cos.

La formule précédente donne

ds? — R? dw?[sin?w + (1+ cosw}?] — ik? cos? — dw? ;

si nous faisons varier w de o à 7 seulement, on en déduit ds = 2R cos = du, et la longueur d’un arc a pour expression

: uw) O4 AR sin — Ê 2 /

La longueur totale est donc égale à SR.

83. Cosinus directeurs. — Pour étudier les propriétés d’une courbe, on est souvent conduit à prendre l’are pour variable indépendante. On adopte alors sur la courbe considérée un sens de parcours positif, et l’on désigne par s la longueur de l'arc AM compris entre un point fixe À et un point quelconque M, affectée du signe + ou du signe —, suivant que la direction de À en M est la direction positive ou la direction opposée. En un point quelconque M de cette courbe menons la direction de la tangente qui coïncide avec la direction des arcs croissants, et soient a, ÿ, yles angles que fait cette direction avec les directions positives de trois axes rectangulaires Ox OF 02A40n%

- CORRE PROS PORC S EURE I ae dx dy dz dx? + dy? + dz? ds pour savoir le signe qui convient, supposons que la direction positive de la tangente fasse un angle aigu avec Ox; els croissent en même temps, on doit donc prendre le signe +. Si l’angle «

; : EE dx est obus, cos est négatif, x diminue quand s augmente, 7 st

négalif, 1l faut encore prendre le signe +. On a donc, dans tous les cas,

(15) cos a =, cosp = MÉe COSY = —;

dx, dy, dz, ds étant les différentielles prises par rapport à la variable indépendante, qui peut être quelconque.

84. Variation d’un segment de droite. — Soit MM, un segment de droite dont les extrémités décrivent deux courbes C, C,. Sur chacune des deux courbes adoptons un point pour origine et un sens positif de parcours.

Soient s l’are AM, s, l'arc A,M,, ces deux arcs étant pris avec un signe, / la longueur MM,, 8 l’angle de MM, avec la direction positive de la tangente MT, 6, l'angle de M,M avec la direction posiuve de la tangente M,T,. Nous allons chercher une relation entre 4, 8, et les différentielles ds. ds dl

Appelons x,y,z, x, J13 1 les coordonnées des points M, M, respectivement, à, f, y les angles de MT avec les axes, @y, O1, Ys les angles de MT avec les ave: On a

= (x —x,)+ GE YEN