II. — INTÉGRALES DÉFINIES. -— NOTIONS QUI S'Y RATTACHENT

on en déduit ldl=(x—2)(d® — dx) +(y —y1) (dy — dy1)+(s— 41) (de — ds),

ce qui peut s’écrire, en tenant compte des formules (15) et des formules analogues pour C;,

dl — (= COSAX + 2% cos À + TT cos ) ds

Ti —T == FE + ( : COS Xi + —— T co58,+ ee cos 1) ds].

. TXT — ZX = ES = , : - Mais rt ee. sont les cosinus directeurs de M,M,

Fig.'19.

et le coefficient de ds est — cost. De même, le coefficient de ds, est — cos, et l’on obtient la relation cherchée

(16) di — — ds cos0 — ds; cos6:,

dont nous allons indiquer une application intéressante.

83. Théorèmes de Graves et de Chasles. — Soient E, E’ deux ellipses homofocales ( fig. 13); d'un point M de l’ellipse extérieure E’, on mène les deux tangentes MA, MB à l’ellipse E; la différence MA + MB — arc ANB reste constante lorsque le point M parcourt l’ellipse E”.

Soient s et s’ les arcs OA et OB, 5 l'arc O'M, / et l'les longueurs AM et BM, 8 l'angle de MB avec la direction positive de la tangente MT : d’après les propriétés focales, l'angle de MA avec MT est égal à x — 6. En observant que AM coïncide avec la direction positive de la tangente en A et que BM est opposée à la direction positive de la tangente en B, la formule (16) donne successivement

dl = — ds + do cosh, dl'= ds'— ds cos0,

et, en ajoutant, il vient d(l+ 4) = d(s'— s) = darc ANB,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Ce théorème est dû à un géomètre anglais, Graves. On démontre de la

même façon le théorème suivant, découvert par Chasles : Étant données” une ellipse et une hyperbole homofocales se rencontrant en N, si d’un point M, pris sur la branche d’hyperbole qui passe au point N, on mène les deux tangentes MA, MB à l’ellipse, la différence des arcs NA — NB est égale à la différence des tangentes MA — MB.

Un grand nombre d’intégrales définies, que l’on ne peut obtenir immédiatement, se calculent au moyen de deux procédés généraux que nous allons faire connaître.