II. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS

celte fonction est en général une fonction continue, mais il peut arriver que, pour certaines valeurs de la variable, la définition

Sin

devienne illusoire. Prenons par exemple la fonction f(x) — g-

qui est continue pour toute valeur x, < 0; ce symbole n’a aucun sens pour æ — 0. Mais, lorsque x tend vers zéro, f(x) tend vers l'unité, et il est nl Dé POSE LAC ONE

Prenons au contraire la fonction NE) — qui est continue

er pour toute valeur x, de +, différente de «. L'opération qu'il faut effectuer pour déduire la valeur de y de la valeur de x n’a plus aucun sens lorsqu'on donne à x la valeur a; mais nous remarquons que, lorsque x a une valeur très voisine de a, y est très grand en valeur absolue et positif ou négatif, suivant que æ est plus grand ou plus petit que a. Lorsque la différence x -- 4 diminue de plus en plus, la valeur absolue de y augmente indéfiniment, de facon à devenir supérieure à tout nombre donné à l'avance, On exprime

“tot

ce fait d'une façon abrégée en disant que la fonction

infinie pour æ — a. Ïl est évidemment impossible de rétablir la continuité pour æ = a, quelle que soit la valeur que l’on convienne de prendre pour f(a).

’ : Ê I nu Prenons encore la fonction y = sin =: Lorsque x tend vers zéro, I ; ae GE EoRS = augmente indéfiniment et y ne tend vers aucune limite, tout en

é ; 2 , l < restant compris entre — 1 et + 1: l'équation sin — — A: où l’on 2 x Ets |

suppose | A| < 1, admet toujours une infinité de racines comprises entre © et &, aussi petit que soite. Quelle que soit la valeur que l’on convienne de prendre pour y lorsqu'on suppose x —0, la fonction y est discontinue pour x — 0, eta en ce point une discontinuité essentielle.

Dans les exemples précédents, on voit directement comment se comporte la fonction dans le voisinage de la valeur singulière de +. Mais il n’en est pas toujours ainsi. Supposons, pour fixer les idées, qu’on ait une fonction F(x), définie par son expression * analytique, pour toute valeur de x supérieure à un nombre fixe &, et qu on veuille reconnaître si F(x) tend vers une limite lorsque x tend vers + +. Si l’expression analytique de F(x) ne permet pas

de le reconnaître directement, on peut dans bien des cas lever le doute au moyen de la proposition suivante :

Pour que F(x)tende vers une limite lorsque x tend vers + «, il faut et il suffit que la différence F(p) —F(q) tende vers zéro lorsque les deux nombres p et q augmentent indéfiniment, indépendamment l’un de l’autre. À

En termes plus précis, pour que F(x) ait une limite, 1l faut et il suffit qu’à tout nombre positif s on puisse faire correspondre un autre nombre A tel que la valeur absolue de la différence F(p)—F(g) soit inférieure à <, lorsque chacun des deux nombres p, g est supérieur où au moins égal à A.

La condition est nécessaire. Si F(x) tend vers une limite L, il existe un nombre À tel que, pour toute valeur de x2A, la valeur

absolue de la différence F(x)—L est inférieure à =: Sipetq

sont deux nombres quelconques supérieurs à À, la valeur absolue de la différence F(p) — F(g) sera donc inférieure à &.

La condition est suffisante. En effet, considérons la suite

Fa), 1 F(ar-RAr) RES

où À est un nombre entier positif. Cette suite est convergente, car la différence F(a+n+k)—F(a+n) sera, quel que soit le nombre positif #, inférieure en valeur absolue à e, pourvu que a+ nr soit supérieur à À (n°9). Donc F(a& + n) tend vers une limite L lorsque le nombre entier 7 augmente indéfiniment. Considérons maintenant un nombre quelconque x, et soit 2 un nombre entier positif, tel que a + n soit au plus égal à x, mais supérieur à # — 1; on peut écrire F(xæ)—L=F(xz)—F(a+n)+[F(a+n)—L|};

lorsque x croît indéfiniment, il en est de même de a + n, et les deux différences, qui figurent dans le second membre de l'égalité précédente, tendent vers zéro : F(x) a donc pour limite L.

De même, pour qu’une fonction F(x) tende vers une limite lorsque x tend vers a, en restant supérieur à a, par exemple, il faut et 1l suffit que la différence F(p) — F(ÿ) tende vers zéro, lorsque les deux nombres p et q, supposés plus grands que a, tendent vers a, indépendamment l’un de l’autre.