Changement de variable. — Si, dans une intégrale dé

finie f f(æ)dzx, on remplace la variable x par une nouvelle /a

variable indépendante { au moyen de la substitution æ —v(t), on obtient une nouvelle intégrale définie. Nous supposerons que la fonction ©(£) est continue et admet une dérivée continue entre a et 5, et que w(£) varie toujours dans le même sens depuis & jusqu'à d lorsque £ varie de & à 8. |

L'intervalle («, 5) étant partagé en intervalles plus petits par des valeurs intermédiaires &, Li Las ss Cn-19 DSC ES V2, ++. T1, 0 les valeurs correspondantes de x =vw(t). On a, d’après le théorème des accroissements finis,

Li Lin (ty — ti) (05),

f; étant compris entre t;, et Li; soit E;—%(06;) la valeur correspondante de +, qui est comprise entre 5.1 el Ti. La somme

f(h)(z1—a) Hf(Es) (re — mile. + f(En) (O — Tn-1)

a pour limite l'intégrale définie considérée. Mais cette somme peut

aussi s’écrire fLo()]e" (01) (ea) ++ TR) CU) Ci bia) Hess

et, sous cette forme, on reconnaît qu’elle a pour limite la nouvelle

intégrale définie si le (L)] o'(t) dt. On a donc l'égalité

b 8 (17) [ srde= | jte (0 de

qui constitue la formule du changement de vartable. On voit qu'on obtient la nouvelle différentielle sous le signe d'intégra-

tion en remplaçant, dans f (æ) dx, x et dæ par leurs valeurs &( t) et o/(t) dt, tandis que les nouvelles limites sont les valeurs de t correspondant aux anciennes limites. En choisissant convenablement la fonction © (4),1l peut se faire que la nouvelle intégrale soit plus facile à calculer que la première, mais on ne saurait donner à cet égard de règles bien précises.

Exemple. — Soient a et b deux nombres positifs; nous avons b b “je: dx Par far A — ETC 1 . 1 ki «a Le

TE fo fe — = — —= —— 3 a 4 LEE | 14 1 æ

et, par suite, on a l'égalité:

ju [T+ bar k æ AT AN &

Nous retrouvons la propriété fondamentale du togarithme (cf. n° 55).

Toutes les hypothèses qui ont été faites pour établir la for-

mule (17) ne sont pas indispensables. Ainsi il n’est pas nécessaire que la fonction +(t) varie toujours dans le même sens lorsque varie de « à 5. Pour fixer les idées, supposons que t croissant de a à y(y LÉ), p(6) aille en croissant de a à c(c > b), puis que, «# croissant de y à $, © (t) décroisse de c à b. Si la fonction f(x) est continue dans l’intervalle (a, c), on peut appliquer la formule à chacun des intervalles (a, c), (c, b), ce qui donne

c Y J fe) de = [| fiat] g(o de,

fæ)dr = [| fie #0 dr: